线性代数课件-13方阵的对角化

,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,主要内容,第十三讲,方阵的对角化,相似矩阵的概念和性质；,方阵与对角阵相似的条件；,对称阵的特征值与特征向量的性质，利用正交,矩阵将对称阵化为对角阵的方法.,基本要求,了解相似矩阵的概念和性质，了解方阵可相似,对角化的充要条件.,了解对称阵的特征值与特征向量的性质，掌握,利用正交阵将对称阵化为对角阵的方法.,1,一、相似矩阵的概念,第三节,相似矩阵,1.,概念的引入,已知矩阵 ,求 .,我们可以找到一个可逆矩阵 ，,相似矩阵,使,2,2.,相似矩阵的概念,定义,设 都是阶矩阵，若有可逆矩阵 ，使,则称 是 的,相似矩阵,，,或称矩阵 与,相似,.,对 进行运算 称为对 进行,相似变换,，,可逆矩阵 称为把 变成 的,相似变换矩阵.,3,说明,能对角化最突出的作用表现在 的多项式,的计算上.,若存在可逆矩阵 ，使,( 为对角阵),则有,这表明 的多项式可通过同一多项式的数值计算,而得到.,当 能对角化时，可以容易证明下面结论：,设 是 的特征多项式，则 .,4,二、相似矩阵的性质, 定理3,若 是 的相似矩阵，则 也是 的相似矩阵.,若 与 相似，则它们的行列式相等： .,若 与 相似，则 与 也相似.,若 阶矩阵 与 相似，则 与 的特,征多项式相同，从而 与 的特征值也相同.,相似，,若 阶矩阵 与对角阵,则 即是 的 个特征值.,证明,证明,5,说明,推论表明，若 ，则 的对,角元必定是 的全部特征值.,于是在不计较 的对,角元次序的意义下， 由 惟一确定.,问题：, 可逆矩阵 是不是也由 确定？, 能不能用特征值和特征向量来刻画矩阵 能,对角化的“特性”？,定理3的逆命题不成立的. 若矩阵 和 的特征值,相同，它们可能相似，也可能不相似.,例如,6,对 阶矩阵 ，,三、方阵可对角化的充要条件,1.,方阵对角化的概念,寻找相似变换矩阵 ，使,这就称为把,方阵 对角化.,说明,如果能找到可逆矩阵 ，使 ，则,可对角化；,如果找不到这样可逆矩阵 ，则,不可对角化.,7,2.,定理的引入,设有可逆矩阵 ，使 为对角阵.,下面,回答 能否由 确定.,8,这表明 的第 个列向量 是 的对应于特征值,的特征向量，,因而 由 和 确定，,也就是由,确定.,由于特征向量不是惟一的，所以矩阵 也不,是惟一确定的.,9,反过来，,是依次与之对应的特征向量，则,设矩阵 的 个特征值为 ，,当 可逆，即 线性无关时，有,这表明方阵 能否对角化完全可用 的特征值和,特征向量来刻画.,10,3.,方阵可对角化的充要条件,定理4,阶矩阵 与对角阵相似(即 能对角化),的充要条件是 有 个线性无关的特征向量.,推论,若 阶矩阵 的 个特征值互不相等，则,与对角阵相似.,说明,当 的特征方程有重根时，不一定有 个线性无,关的特征向量，从而不一定能对角化；,但是，有,重根时，也有可能能对角化. 所以,特征值互不相等只是 与对角阵相似的充分条件.,11,例1,设,问 为何值时，矩阵能对角化？,解,析：此例是定理4的应用.,定理4表明：,阶矩阵 可对角化,有 个线性无关特征向量.,由此可推得另一个充要条件：,对 的每个不同的特征值 ， 的重数,=对应于 的线性无关特征向量的个数,12,所以的特征值为 1(二重,)， .,对应于单根 ，可求得线性无关的特征向量1个；,对应于二重特征值 1，若 能对角化，则,13,要使 ，则,即,说明,解答此题的关键是将 取值条件“ 可对角化”,转化为“二重特征值 1 应满足 ”，,从而求得.,矩阵 能否对角化，取决于它的线性无关特征,向量的个数，而与 的秩， 的行列式都无关.,14,例2,设,若能，找出一个相似变换矩阵 将 化为对角阵,.,试问 能否对角化？,解,析：这是前面提到的一个例题. 现在再讲，目的是为了熟悉找相似变换矩阵的方法.,先求 的特征值，,所以 的特征值为,再求特征向量，,15,当 时，对应的特征向量满足,解之，得基础解系,所以对应于 的线性无关的特征向量可取为,解之，得基础解系,当 时，对应的特征向量满足,所以对应于 的线性无关的特征向量可取为,16,由以上可知， 有两个线性无关特征向量 ，,令,则 就是所求相似变换矩阵，且有,说明,求相似变换矩阵的步骤：,求特征值；,求特征向量；,若线性无关的特征向量的个数等于矩阵的阶数，则相似变换矩阵存在(否则不存在,)，,由线性无关的特征向量构成的矩阵就是所求.,所以 可以对角化.,17,四、小结,对于 阶矩阵 和 ，若有可逆矩阵 ，使,则称 与 相似.,阶矩阵 与 相似，则 和 的特征值相同，,反之不然.,阶矩阵 与对角阵相似的充要条件是 有 个,线性无关的特征向量.,18,一、实对称阵的性质,第四节,实对称阵的对角化,定理5,实对称阵的特征值为实数.,定理6,设 是对称阵 的两个特征值， 是,若 ，则 与 正交.,对应的特征向量，,证明,证明,证明,定理7,设 为 阶实对称阵，则必有正交阵 ，使,其中 是以 的 个特征值为对角元的对角阵.,推论,设 为 阶对称阵， 是 的特征方程的 重,根，,则矩阵 的秩 ，,从而,对应特征值 恰有 个线性无关的特征向量.,19,说明,定理5表明，实对称阵的特征向量可取实向量.,这是因为，,当特征值 为实数时，齐次方程,的系数矩阵是实矩阵，必有实的基础解系.,定理6表明，实对称阵的特征向量可取为两两正,交的向量.,这是因为，,对 的每一个不同的特征值 ，对应于 的特征向量可取为两两正交向量，,到的线性无关的特征向量就是两两正交的.,定理7表明，实对称阵一定可以对角化，而且是,正交相似对角化.,这样所得,20,二、实对称阵的对角化,理论依据：,定理7和其推论,实对称阵 正交相似对角化的步骤：, 求出 的全部互不相等的特征值,它们的重数依次为, 对于实对称阵 ，一定在正交阵 ，使, 对于对称阵 ， 重特征值对应的线性无关,特征向量恰好有 个.,21, 对应于 重特征值 ，求方程,(由推论),再把它们正交化、单位化，得 个两两正交的单,位特征向量.,可得 个两两正交的单位特征向量.,(由定理6), 用这 个两两正交的单位特征向量构成正交阵,，便有 .,注意 中对角元的,排列次序应与 中列向量的排列次序相对应.,的基础解系，得 个线性无关的特征向量.,故总共,22,例3,设,求一个正交阵 ，使 为对角阵.,解,析：对称阵正交相似对角化的原理和步骤是本,章的中心问题. 此例是这一问题的示范，目的是熟,悉对称阵正交相似对角化的步骤，并明了每个步,骤的必要性和依据.,求特征值，,23,求得 的特征值为,由,24,求两两正交的单位特征向量，,对应于 ，,解方程 ，,由,得基础解系,从而得单位特征向量,解方程 ，,对应于 ，,25,由,得基础解系,将 正交化，,取,从而得两两正交的单位向量为,26,写出正交阵和对角阵，,令,就是所求正交阵，且有,27,注意：,若令 则,若令 则,28,例4,设 ，求,解,析：此例的目的是掌握利用矩阵对角化理论,计算方阵的幂及多项式.,求 的特征值，,由,得 的特征值为,求特征向量，,对应,解方程 ，,29,由,得,对应,解方程 ，,由,得,写出相似变换矩阵，将 化为对角阵,令,则,且,即,30,根据 的相似对角阵，求,31,此例体现了方阵对角化的作用，如前面所述.,将此例与第二章中的有关的例题相比较，后者给,出关系式 、矩阵 和 ，也就是给出条,件,可对角化；,的相似对加阵 ；,相似变,换矩阵 .,前者则更具有理论性和实践性: 已知 ，,通过计算 和 ，求 .,因此尽管两者都是求 的,幂，形象地说后者是矩阵乘法的练习，前者是理论,指导下的实践.,说明,32,三、小结,对于实对称阵 ，一定在正交阵 ，使,将对称阵正交相似对角化的步骤：,求特征值；,求两两正交的单位特征向量；,写出正交矩阵和对角阵.,33,思 考 题,1.,设 是 阶矩阵 的 重特征值，对应线性无关,的特征向量恰有 个，证明 .,2.,如果 是矩阵 的两个不同的特征值，,是对应于特征值 的线性无关的特,征向量， 是对应于特征值 的线性,无关的特征向量，那么，,也线性无关.,3.,设 是 阶矩阵， 是 的 个特征向量，,求 .,4., 若 ，则 可对角化；, 若 ，且 ，则 不可对角化.,思考题,34,思考题解答,1.,证,设这 个线性无关的特征向量为 ，,因它们是齐次方程 的基础解系，故,选取 使 这 个向,量线性无关( 可选矩阵 的列向,量组的最大无关组)，并把它们构成可逆矩阵 .,因 ，故,35,思考题解答,则 与 相似，且 的特征多项式为,可见 的特征值 的重数 .,而 的特征值与 的特征值一一对应，,因此 的特征值 的重数 .,因而 的特征值 0 的重数 .,36,思考题解答,2,.,证,设有,使,两边左乘 ，得,又,所以,因为 线性无关，所以必有,同理必有,于是， 线性无关,37,思考题解答,3.,解,因为 是 阶矩阵 的特征值，所以,存在可逆矩阵 ，使,所以,38,思考题解答,4.,证, 设 为 阶矩阵，由 ，得,先证 的特征值知可能是0或1.,设 是 的一个特征值，由 关系式可知，,应有 所以 或1.,再证 有 个线性无关特征向量.,设 则 ，于是,由 知，对应于0的线性无关的特,征向量有 个；,由 知，对应于1的线性无关的特,征向量有 个；,所以 共有 个线性无关特征向量，故 可对角化.,39, 用反证法.,假设 能对角化，即存在可逆矩阵 ，使,为对角阵.,所以,而已知 ，故,与 矛盾！,因此 不能对角化.,思考题解答,40,作业,作业：,P,138,13.,14. 15.,16.(2),P,139,17. 18.,22. 24.(2),41,例如,设,则有,其中,所以 与 相似.,又设,显然 与 的特征值相同，但是它们不相似.,42,这是因为，如果 与 相似，存在可逆矩阵 ，,使,矛盾！,注意：,当 阶矩阵 都能对角化时，若它们有相同的,特征值，则它们是一定相似的.,若把对角阵 的对角元交换次序变为对角阵 ，,则 与 相似.,与单位阵相似的矩阵一定是单位阵.,Back,43,若 与 相似，则 与 也相似.,证,因为 与 相似，所以存在可逆矩阵 ，使,于是,即,因此 与 相似.,证毕,44,若 阶矩阵 与 相似，则 与 的特征值相同.,证毕,析：要证 与 的特征值相同，只需证它们,的特征多项式相同. 即,因为 与 相似，所以 与 相似，则,存在可逆矩阵 ，使,于是,证,45,证,设 为实对称阵 的特征值，要证 为实数，,即证,因为 为 的特征值，所以存在非零向量 ，使,于是有,实对称阵的性质的证明,实对称阵的特征值为实数.,46,因此,而当 时，,故,即,所以 是实数.,实对称阵的性质的证明,证毕,47,实对称阵的性质的证明,对称阵的对应于不同特征值的特征向量正交.,证,要证 与 正交，即证它们的内积等于0，,亦即 .,由定理假设知，,用 左乘两端 ，得,当 时，,有 .,证毕,48,实对称阵的性质的证明,对于实对称阵，对应于特征值 的线性无关特征向量的个数等于 的重数.,证,要证 ，只需证与 相,似的矩阵的秩等于 即可.,由定理7知，对称阵 与 相,似，,从而 与,相似.,当 是 的 重特征值时，,从而 的对角元恰,有 个等于0，,于是 .,而,所以,证毕,这 个特,征值中只有 个等于 ，,49,