资源描述
单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高等数学,*,二、无界函数的反常积分,第四节,常义积分,积分限有限,被积函数有界,推广,一、无穷限的反常积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,反常积分,(,广义积分,),反常积分,第,五,章,11/27/2024,高等数学,一、无穷限的反常积分,引例,.,曲线,和直线,及,x,轴所围成的开口曲,边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/27/2024,高等数学,定义,1.,设,若,存在,则称此极限为,f,(,x,),的无穷限,反常积分,记作,这时称反常积分,收敛,;,如果上述极限不存在,就称反常积分,发散,.,类似地,若,则定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/27/2024,高等数学,则定义,(,c,为任意取定的常数,),只要有一个极限不存在,就称,发散,.,无穷限的反常积分也称为,第一类反常积分,.,并非不定型,说明,:,上述定义中若出现,机动 目录 上页 下页 返回 结束,它,表明该反常积分发散,.,11/27/2024,高等数学,引入记号,则有类似牛,莱公式的计算表达式,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/27/2024,高等数学,例,1.,计算反常积分,解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考,:,分析,:,原积分发散,!,注意,:,对反常积分,只有在收敛的条件下才能使用,“,偶倍奇零” 的性质,否则会出现错误,.,11/27/2024,高等数学,例,2.,证明第一类,p,积分,证,:,当,p =,1,时有,当,p ,1,时有,当,p ,1,时收敛,;,p,1,时发散,.,因此,当,p ,1,时,反常积分收敛,其值为,当,p,1,时,反常积分发散,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/27/2024,高等数学,例,3.,计算反常积分,解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/27/2024,高等数学,二、无界函数的反常积分,引例,:,曲线,所围成的,与,x,轴,y,轴和直线,开口曲边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/27/2024,高等数学,定义,2.,设,而在点,a,的右邻域内无界,存在,这时称反常积分,收敛,;,如果上述极限不存在,就称反常积分,发散,.,类似地,若,而在,b,的左邻域内无界,若极限,数,f,(,x,),在,a,b,上的反常积分,记作,则定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则称此极限为函,11/27/2024,高等数学,若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类,说明,:,而在点,c,的,无界函数的积分又称作,第二类反常积分,无界点常称,邻域内无界,为,瑕点,(,奇点,),.,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,间断点,而不是反常积分,.,则本质上是常义积分,则定义,11/27/2024,高等数学,注意,:,若瑕点,的计算表达式,:,则也有类似牛,莱公式的,若,b,为瑕点,则,若,a,为瑕点,则,若,a,b,都为瑕点,则,则,可相消吗,?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/27/2024,高等数学,下述解法是否正确,:, ,积分收敛,例,4.,计算反常积分,解,:,显然瑕点为,a,所以,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,5.,讨论反常积分,的收敛性,.,解,:,所以反常积分,发散,.,11/27/2024,高等数学,例,6.,证明反常积分,证,:,当,q,= 1,时,当,q, 1,时收敛,;,q,1,时,发散,.,当,q,1,时,所以当,q, 1,时,该广义积分收敛,其值为,当,q,1,时,该广义积分发散,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/27/2024,高等数学,例,7.,解,：,求,的,无穷间断点,故,I,为,反常,积分,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/27/2024,高等数学,内容小结,1.,反常积分,积分区间无限,被积函数无界,常义积分的极限,2.,两个重要的反常积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/27/2024,高等数学,说明,:,(1),有时通过换元,反常积分和常义积分可以互,相转化,.,例如,(2),当一题同时含两类反常积分时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分,.,11/27/2024,高等数学,(3),有时需考虑,主值意义下的反常积分,.,其定义为,P256,题,1 (1) , (2) , (7) , (8),机动 目录 上页 下页 返回 结束,常积分收敛,.,注意,:,主值意义下反常积分存在不等于一般意义下反,思考与练习,11/27/2024,高等数学,P256 1,(4) , (5) , (6) , (9) , (10) ;,2 ; 3,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,提示,:,P256,题,2,求其,最大值,.,作业,11/27/2024,高等数学,备用题,试证,并求其值,.,解,:,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/27/2024,高等数学,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/27/2024,高等数学,
展开阅读全文