数学物理方法保角变换法

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第十一章 求解定解问题的其它解法,求解数理方程，除了行波法、分离变量法外，还有其他的常用解法：,格林函数法；,积分变换法；,保角变换法等一些解析法。,11.1 保角变换法求解定解问题,在许多物理问题中（如电学、热学、光学、流体力学和弹性力学等）经常会遇到,解平面场的拉普拉斯方程或泊松方程的问题,尽管可用前几章的理论方法如：分离变量法或格林函数法等来解决，但当边值问题中的边界形状变得十分复杂时，分离变量法和格林函数法却显得十分困难，甚至不能解决,对于复杂的边界形状,，拉普拉斯方程定解问题常采用,保角变换法求解,保角变换法解定解问题的基本思想：,通过解析函数的变换或映射（这部分知识在复变函数论中已经学习过）将,Z,平面上具有复杂边界形状的边值问题变换为,W,平面上具有简单形状（通常是圆、上半平面或带形域）的,边值问题,，而后一问题的解易于求得于是再通过,逆变换,就求得了原始定解问题的解,这就是本章将要介绍的一种解决数学物理方程定解,问题中的解析法,保角变换法,。,保角变换法,是解决这类,复杂边界的最有效方法,，特别适合于,分析平面场,的问题。,例如静电场的问题，由于这种求解复杂边界的定解问,题具有较大的实用价值，所以有必要单独以一章的内,容进行介绍,复变函数论中已经系统介绍了保角变换理论，本章主要介绍利用保角变换法求解定解问题。,11.1.1 保角变换与拉普拉斯方程边值问题的关系,在复变函数论中我们已经知道，由解析函数,实现的从,Z,平面到,W,平面的变换在,的点具有,保,角性质,，因此这种变换称为,保角变换,下面我们主要讨论一一,对应的保角变换，即假定,和它的反函数都是,单值,函数,；或者如果它们之中有多值函数就规定取它的,黎曼面的一,叶,定理,如果将由,到,的,保角变换,看成为二元（实变）函数,的变换由,到,的,变量代换,，则,平面上的边界变成了,平面上的边界我们能证明，如果,程,，则经过保角变换后得到的,满足,拉普拉斯方,也满足,拉普拉斯方程,【证明】,利用,复合函数求导法,则有,(11.1.1),同理,(11.1.2),两式相加得到,（）,利用解析函数,的C-R条件,(11.1.4),以及解析函数的实部和虚部分别满足,拉普拉斯方程的性质,(11.1.5),将式（）和式（）代入到式（）化简后得到,注意到上式已经使用了：,对于保角变换,因而只要,满足拉普拉斯方程，则,）也满足,拉,普拉斯方程,，即为,（）,这样我们就有结论,：如果在,平面上给定了,的拉普拉斯方程边值问题，,则利用,保角变换,，可以将它转化为,平面上,的,拉普拉斯方程边值问题,同理可以证明，在单叶解析函数,变换下，,泊松方程,(11.1.7),仍然满足,泊松方程,（）,由上式可知，在保角变换下，泊松方程中的,电荷密度,发生了变化,对于波动问题和输运问题，同理可以证明，,亥姆霍兹方程,(11.1.9),经变换后仍然服从,亥姆霍兹方程,(11.1.10),注意到方程要比原先复杂，且,前的系数可,能,不是常系数,保角变换法的优点不仅在于拉普拉斯方程、泊松方程,等方程的类型在保角变换下保持不变，更重要的是，能将,复杂边界问题变为简单边界问题，从而使问题得到解决,下面，在介绍用,保角变换法来求解拉普拉斯方程之前，,先介绍常用到的一些保角变换,11.1.2 常用的几种保角变换,(1)平移变换,将z平面上的图形整体平移一个矢量,a。,(2)线性变换,平移,旋转,伸缩,(3)反演变换,保角性：,保圆性：,保对称性：,Z平面内关于原点,O,对称点,P,、,Q,变换为w,平面上的像,P,、,Q,也关于原点,O,对称。,O,P,Q,R,(4)分式线性变换,保圆性；,保对称性；,上式可写成,其中：,例题1,i,(-1,0),(1,0),例题2,1/2,上半平面,(5)幂函数变换,令,则,该变换的特点是把,z,平面的圆周变换成,w,平面的,圆周。特别是单位圆周变换成单位圆周；把以,原点为顶点的角形域变换成以原点为顶点的角,形域，但其张角为原来的的,n,倍。,讨论变换,若均匀场在,w,平面上是具有平行于两坐标轴的直线族，则此变换将,w,平面的正实轴变换成,z,平面上的正实轴，其负实轴却因负值的方根变成,z,平面上的正虚轴，这样,w,平面的上半平面变换成,z,平面的第一象限，如图所示。反之亦然,.,y,x,z,平面,W,平面,(6)对数变换,对数变换是常用的一种变换。对数变换是指数变换的逆变换。先研究指数变换,令 ，得,可知：,z,平面上的直线,x,=常数变换到,w,平面上的圆周,常数，而直线,y,常数变换成射线 常数。,因此，指数变换的特点是：把水平的带形,城 变换成角形,z,(,W,平面),w,(,z,平面),对于对数变换,取极坐标系 则,故,可见：在w平面上 常数的直线在,z,平面表示,一族圆；常数表示一族径向射线。,例1,试求平面静电场的电势分布,，其中,【,解】,变换,使上半,平面变成,平面上的带形域,然的，类似于上面定解问题的结果,则,本定解问题可归结为,而在带形域上的解是显,11.1.3 保角变换法求解定解问题典型实例,而,所以,于是，,作反变换便可求得所求问题的解,为,试用保角变换法求解一半径为,的无限长导体圆柱壳,内的电场分布情况,【,解】,即求解定解问题,例 2,若把柱面充电到,作如下的保角变换,(1)作变换,把原图象缩小为,倍即将,任意的圆周变换为单位圆,(2)再作变换,把,变换为,，其边界的变换是,将下,半圆周对应于负半实轴，上半圆周对应于正半实轴,（3）再作变换,把,平面的上半平面变成,平面上平行于实轴，,宽为,的一个带形区域，其边界的,变换是将,平面的正半实轴变换为,平面的实轴，,平面的负半实轴变换为,平面的平行于实轴的直线,所以，在变换,之下，,定解问题变换为,定解问题的解,（仿上例）为,将变量回到,平面，则,化成极坐标形式，则上式又改写成,从上面的例题我们总结出，对于平面标量场的问题，,不管边界如何复杂，只要能通过保角变换把原来的边界,所围成的区域变换成上半平面的带形域,问题就容易解决了,解：用保角变换法,由于等势面为圆，故可采用对数函数变换来进行计算。,y,x,例3,两个同轴圆柱构成柱形电容器，内外半径,分别为R,1,、R,2,，电势分别为 、。求导体内,任一点的电势。,将z平面上的圆变成,w,平面上的直线区域，,其宽度为 。其间的电势满足,所以，利用平行板电容器计算公式，得单,位长度的电容为,其中,例4 用保角变换法求解下列定解问题：,作业：p376，1，2，6（1）、（2）,这是最后一次作业，全部作业务于下周六交齐，过期不候！,