一复合变换与二阶矩阵的乘法

第 二 节,变换的复合与二阶矩阵的乘法,及逆变换与逆矩阵,1.,二阶矩阵的乘法及其性质,(1),二阶矩阵的乘法,(2),二阶矩阵乘法的性质,设,A,B,C,是任意的三个二阶矩阵,结合律,(,AB,),C,=_;,特别地：,A,k,A,l,=_,(,A,k,),l,=_;,矩阵的乘法不满足,_;,矩阵的乘法不满足消去律,.,A,k+,l,A,k,l,交换律,A,(,BC,),2.,逆矩阵的定义、性质及其求法,(1),定义：设,A,是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵,B,，使得,_,则称矩阵,A,可逆，并称,B,是,A,的逆矩阵,.,(2),性质：,性质,1:,设,A,是一个二阶矩阵,如果,A,是可逆的,则,A,的逆矩阵是,_.,性质,2:,设,A,B,是二阶矩阵,如果,A,B,都可逆,则,AB,也可逆,且,(,AB,),-1,=_.,BA,=,AB,=,E,2,唯一的,B,-1,A,-1,(3),求法,:,二阶行列式：矩阵 表达式,_,称为二阶行列,式，记作,_,，也称为二阶矩阵,A,的行列式，记为,|,A,|,或,det,A,;,求法：二阶矩阵 可逆，当且仅当,|,A,|=ad-bc0.,当矩阵 可逆时，,A,-1,=.,ad-bc,ad-bc,3.,逆矩阵与二元一次方程组,(1),定理,:,如果关于变量,x,y,的二元一次方程组,(,线性方程组,),的系数矩阵 可逆,那么该方程组有唯一,解,_,(2),推论,:,关于变量,x,y,的二元一次方程组 其中,a,b,c,d,是不全为零的常数,有非零解的充分必要条件是系数矩,阵的行列式,_.,判断下面结论是否正确,(,请在括号中打,“,”,或,“,”,).,(1),设 则,(),(2),对于矩阵,A,B,AB,=,BA,.(),(3),对于矩阵,A,B,C,若,AC,=,BC,则,A,=,B,.(),(4),每一个二阶矩阵都可逆,.(),(5),如果,A,B,都可逆，则,AB,也可逆,.(),【解析,】,(1),错误,.,由矩阵乘法的运算法则可知,.,(2),错误,.,矩阵的乘法运算不满足交换律,.,(3),错误,.,矩阵的乘法运算不满足消去律,.,(4),错误,.,当,|,A,|=0,时矩阵不可逆,.,(5),正确,.,由可逆矩阵的性质知正确,.,答案,:,(1),(2),(3),(4),(5),考向,1,二阶矩阵的乘法及其应用,【典例,1,】,在直角坐标系中，,OAB,的顶点坐标,O(0,0),，,A(2,0),，,求,OAB,在矩阵,MN,的作用下变换所得到的图形的面积，,其中矩阵,【思路点拨,】,由矩阵,M,N,先计算出,MN,；再分别计算出点,O,，,A,，,B,在,MN,的作用下点的坐标，再结合图形求三角形的面积,.,【规范解答,】,可知,O,，,A,，,B,三点在矩阵,MN,作用下变换所得的点分别为,O(0,0),A(2,0),B(2,-1).,可知,OAB,的面积为,1.,【互动探究,】,在本题中，试求在矩阵,NM,的作用下变换所得的图形的面积,.,【解析,】,可知,O,A,B,三点在矩阵,NM,的作用下变换所得的点分别为,O(0,0),A(2,0),B(0,-1),，可知,OAB,的面积为,1.,【拓展提升,】,矩阵的乘法运算的关注点,(1),熟练掌握二阶矩阵的乘法运算法则,注意其用前矩阵的,“,行,”,元素,与后矩阵的,“,列,”,元素相乘相加的特点,.,(2),二阶矩阵的乘法运算与二阶矩阵和平面向量的乘法在实质上是一致的,.,可以类比理解,.,(3),二阶矩阵的乘法常与矩阵的其他运算,如矩阵的相等、逆矩阵等相结合,.,(4),变换的复合等价于相应矩阵的乘法运算，采用矩阵的乘法运算可以简化变换的过程，起到化繁为简的作用,.,【变式备选,】,在平面直角坐标系,xOy,中，已知点,A(0,0),，,B(,2,0),，,C(,2,1),设,k,为非零实数，矩阵,点,A,，,B,，,C,在矩阵,MN,对应的变换下得到的点分别为,A,1,，,B,1,，,C,1,，,A,1,B,1,C,1,的面积是,ABC,的面积的,2,倍，求,k,的值,【解析,】,由题设得,可知,A,1,(0,0),B,1,(0,-2),C,1,(k,-2).,计算得,ABC,的面积是,1,A,1,B,1,C,1,的面积是,|k|,由题设知,|k|=2,1=2,所以,k,的值为,-2,或,2.,考向,2,逆矩阵的求法,【典例,2,】,(2012,福建高考,),设曲线,2x,2,+2xy+y,2,=1,在矩阵,对应的变换作用下得到的曲线为,x,2,+y,2,=1,(1),求实数,a,，,b,的值,.,(2),求,A,2,的逆矩阵,.,【思路点拨,】,首先由变换前后的曲线方程、变换公式建立关于,a,b,的关系式，从而求出,a,b,，即得矩阵,A,，再计算,A,2,及其逆矩阵,.,【规范解答,】,(1),设曲线,2x,2,+2xy+y,2,=1,上任一点,P(x,y,),在矩阵,A,对应变换下的像是,P(x,y,),，,又点,P(x,y,),在,x,2,+y,2,=1,上，,所以,x,2,+y,2,=1,，即,a,2,x,2,+(bx+y),2,=1,整理得,(a,2,+b,2,)x,2,+2bxy+y,2,=1.,依题意得,因为,a,0,，所以,(2),由,(1),知，,【拓展提升,】,求逆矩阵的两个方法,(1),待定系数法：设出矩阵,A,-1,，再利用,AA,-1,=,E,2,列出方程组求,相应的元素,.,(2),公式法：先求出,|,A,|,，再代入公式,A,-1,=,【提醒,】,逆矩阵求解公式的特点,将矩阵,A,的所有元素均除以,|,A,|,后，,a,11,与,a,22,互换，,a,12,与,a,21,变号,.,【变式训练,】,已知在矩阵 的作用下将直线,2x-y=3,变为其自身,.,(1),求矩阵,A,.,(2),求矩阵,A,的逆矩阵,.,【解析,】,(1),方法一：设,P(x,y,),为直线,2x-y=3,上任意一点,其在,矩阵,A,的作用下变为,(x,y,),，则,代入,2x-y=3,得：,-(b+2)x+(2a-3)y=3.,其与,2x-y=3,完全一样，,方法二：在直线,2x-y=3,上任取两点,(2,，,1),和,(3,，,3),，,即得点,(a-2,2,b,+3),将,(a-2,2b+3),和,(3a-3,3b+9),分别代入,2x-y=3,得,则矩阵,(2),因为 所以矩阵,A,的逆矩阵为,考向,3,二阶矩阵的运算在图形变换中的综合应,用,【,典例,3,】,在平面直角坐标系中，设圆,C,：,(x-1),2,+(y-2),2,=1,在,矩阵 对应的变换下得到曲线,F,所围成的,面,积,为,4.,(1),求,k,的值,.,(2),求矩阵,A,的逆矩阵,.,【思,路,点拨,】,(1,),表示出,曲,线,F,的方程,根,据所围成图形的面积,列关于,k,的方程求,解,.,(2),利用矩阵,A,的行列式可求出,A,-1,.,【规范解答,】,(1),设,P(x,y,),是圆,C,上任意一点，点,P(x,y,),在矩阵,A,对应的变换下变为点,P(x,y,),点,P,在圆,C,上，,曲线,F,的方程为,(x-k),2,+(y-2k),2,=k,2,曲线,F,是以,k,为半径的圆，,k,2,=4.,又,k,0,k=2.,(2),由,(1),知,【拓展提升,】,矩阵的基本运算与解题常规思路的应用,(1),利用变换求矩阵，已知矩阵求其逆矩阵是矩阵中的基本运算,.,(2),此类题目往往涉及矩阵的乘法、逆矩阵的求法、图形的变换等知识，综合考查矩阵的运算及矩阵在图形变换中的应用，因此要熟悉相关的解题、运算思路，即常规思路，这些方法、思路的熟练运用是解决此类题目的保证,.,【变式训练,】,(2012,德化模拟,),已知变换,T,1,是绕原点逆时针旋转 的旋转变换，对应的变换矩阵是,M,1,；变换,T,2,对应的变换矩阵是,(1),求点,P(2,1),在变换,T,1,作用下的点,P,的坐标,.,(2),求函数,y,x,2,的图象依次在,T,1,，,T,2,变换的作用下所得曲线的方程,【解析,】,(1),变换,T,1,是绕原点逆时针旋转 的旋转变换，故它对应的矩阵,得点,P(2,1),在,T,1,作用下的点,P,的坐标是,P(,1,2),(2),设 又设 是变换后图象上任一,点，,与之对应的变换前的点是,由 得所求曲线的方程是,y,x,y,2,