常数项级数的概念及性质

*,1,微积分虽然是研究函数的有力工具,本章主要研究无穷多个数、函数相加的问题. 如,工具就是,无穷级数.,有限形式.,导数的和.,无穷小的和,仍是无穷小;,限性,如:,有限个,即一般要求问题本身具有,有限,形式.,但也有其局,有限个函数和的导数,等于,不具有,有些函数的原函数不是初等函数,本章将借助于新的工具来研究函数,这个,2,引例：,用圆内接正多边形面积逼近圆面积.,依次作圆内接正,边形,这个和逼近于圆的面积,A,.,设,a,0,表示,即,内接正三角形面积,a,k,表示边数,增加时增加的面积,则圆内接正,边形面积为,3,无穷级数,无穷级数,常数项级数,幂级数,第九章,主要研究无限个量相加的问题，包括,无限个数和无限个函数相加的问题 。,4,常数项级数的概念和性质,一、常数项级数的概念,二、无穷级数的基本性质,三、级数收敛的必要条件,第一节,第九章,5,1.,定义：,给定一个数列,将各项依,即,称为（常数项）,无穷级数.,第,n,项,叫做级数的,一般项.,级数的前,n,项和,称为级数的,部分和.,次相加所构成的式子：,其中,几个概念：,称 为级数的部分和数列.,简记为,一,、常数项级数的概念,无穷多个数相加的含义是什么?,6,即,则称级数,收敛，,极限,s,称为该级数的,和，,并记作：,如果,部分和数列,极限不存在，,则称级数,发散，,或者称,该级数没有和.,2.级数的收敛与发散：,有极限,s,如果级数,部分和,数列,注意：,(1),常数项,级数,收敛,(,发散,),存在,(,不存在,).,即数列,收敛,(,发散,),收敛与发散二者必居其一.,(2)给定一个级数，,级数收敛时才有和，发散时就没有和.,即数列,有,(没有)极限.,数列收敛，则它的任意子数列都收敛,7,余项,(3)如果级数,收敛于s，,s,叫级数的和.,即,这时：,其误差为,显然,存在,8,3.级数的敛散性举例：,解：,所以级数的,部分和,为：,例1.,判断级数,的敛散性.,所以原级数,发散.,9,例,2.,讨论等比级数,(又称几何级数),解：,收敛,发散,当,时，,当,时，,发散,的敛散性.,级数变为,10,因此,n,为奇数,n,为偶数,从而,不存在 , 因此级数发散.,综上,当,时，,当,时，,收敛，,发散，,收敛；,收敛；,发散；,发散.,如：,其和为,1,.,级数变为,11,解,已知级数为等比级数，,12,解：,所以级数的,部分和,为：,例3.,判断级数,的敛散性.,所以原级数,发散.,注意：,判断敛散性的,方法：,(1)找,(2),求极限,定义法,13,解：,例4.,判断级数,的敛散性.,若收敛,求其和s.,所以级数,收敛，,和,s,=1.,即,技巧:,利用 “,拆项相消,” 求和,14,解,例5.,15,16,17,二、无穷级数的基本性质,（,常数项级数 函数项级数都使用,）,性质,1.,若级数,收敛于,s,则各项,乘以常数,c,所得级数,也收敛,证,:,令,则,这说明,收敛,其和为,c s .,即,其和为,c s .,结论,:,级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变,.,发散级数没有可比性,敛散性相同,即,18,性质,2.,设有两个,收敛,级数,则级数,也收敛,其和为,证,:,令,则,这说明级数,也收敛,其和为,结论,:,收敛级数,可以逐项相加与逐项相减,.,19,说明:,(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则,必发散 .,但若二级数都发散 ,不一定发散.,例如,(1) 性质2 表明,收敛,级数可逐项相加或减 .也说明加法的交换律及结合律在级数,收敛,的条件下是成立的.,(用反证法可证),即,收敛+收敛=收敛，收敛+发散=发散，,发散+发散就不一定发散,如,求级数,的和.,20,解,由性质1知,21,性质,3.,在级数前面加上或去掉,有限项, 不会影响级数,的敛散性.,证:,将级数,的前,k,项去掉,的部分和为,数敛散性相同.,当级数收敛时, 其和的关系为,极限状况相同,故新旧两级,所得新级数,时，,说明:,(1) 收敛,收敛,(2),类似地,可以证明在级数前面加上、改变有限项不影响级数,的敛散性，,但影响收敛级数的和.,2.级数的敛散性和前有限项没有关系.,22,性质,4.,收敛,级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数,的和,.,证,:,设收敛级数,若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列,为原级数部分和,序列,的一个子序列,因此必有,例如,收敛,加括号后,收敛,23,注意,即收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,收敛,发散,1、(逆命题不一定成立)加括号后的级数收敛，原,级数不一定收敛.,24,例,7,判断级数的敛散性,:,解:,考虑加括号后的级数,发散,从而原级数发散 .,25,例7 证明,证明,矛盾！,（1）,请熟记：调和级数,是发散的 .,26,例,5.,证明调和级数 是发散的,.,解:,考虑加括号后的级数,即加括弧后的级数发散 ,从而原级数发散 .,请熟记：调和级数,是发散的 .,27,证,:,性质,5,：,如,:,级数,收敛，,当,时,则有,28,注意：,1.,反之不成立,(,是级数收敛的,必要条件，不充分,),但它是发散的,.,但它是发散的,.,29,2.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散.(逆否命题),所以是,发散的,.,发散,.,发散,.,都是,发散,的.,发散,此必要条件只能用于判定级数发散而不能判定收敛.,30,判断级数发散的方法,:,解,实际上,的速度越快,，,收敛的可能性越大,31,例8：,判断级数 的敛散性.,解答：,所以原级数,发散,.,32,解,33,常数项,级数的基本概念,基本审敛法,对收敛级数而言.,性质2，性质4,对一般级数而言.,性质1，性质3,常数项,级数,收敛,(,发散,),存在,(,不存在,),1.由定义：,存在,(,不存在,),级数,收敛,(,发散,)；,3.按基本性质,小结,2.,发散,.,34,基本性质,性质1,不变.,敛散性,级数的每一项同乘一不为零的常数,性质2,设两级数收敛,则级数,收敛，,其,和,为,在级数前面,加上,（,或去掉,）,有限项,不影响,性质3,级数的,敛散性,但,影响收敛级数的和.,性质4,收敛,加括号后,收敛.,收敛级数,加括号后所成的级数,仍然收敛,于,原来的,和.,35,收敛的,必要条件,几个重要级数的敛散情况,1.等比级数,收敛,发散.,2.调和级数,是发散的.,作业：,P365,:4（2,3）. 5（2,3,4,7,8）7,36,P366,8,证:,有界,部分和为,有界,单调增加,存在,收敛，,37,