人工智能-谓词逻辑43

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,谓词逻辑基础,一阶逻辑,基本概念,个体词：表示主语的词,谓词：刻画个体性质或个体之间关系的词,量词：表示数量的词,小王是个工程师。,8,是个自然数。,我去买花。,小丽和小华是朋友。,其中，“小王”、“工程师”、“我”、“花”、“,8”,、“小丽”、“小华”都是个体词，而“是个工程师”、“是个自然数”、“去买”、“是朋友”都是谓词。显然前两个谓词表示的是事物的性质，第三个谓词“去买”表示的一个动作也表示了主、宾两个个体词的关系，最后一个谓词“是朋友”表示两个个体词之间的关系。,谓词逻辑基础,谓词逻辑基础,例如：（,1,）所有的人都是要死的。,（,2,）,有的人活到一百岁以上。,在个体域,D,为人类集合时，可符号化为：,（,1,）,xP,(,x,),，其中,P,(,x,),表示,x,是要死的。,（,2,）,x Q,(,x,),其中,Q,(,x,),表示,x,活到一百岁以上。,在个体域,D,是全总个体域时，,引入特殊谓词,R,(,x,),表示,x,是人，可符号化为：,（,1,）,x,（,R,(,x,),P,(,x,),）,其中，,R,(,x,),表示,x,是人；,P,(,x,),表示,x,是要死的。,（,2,）,x,（,R,(,x,),Q,(,x,),），,其中，,R,(,x,),表示,x,是人；,Q,(,x,),表示,x,活到一百岁以上。,一阶逻辑,公式及其解释,个体常量：,a,b,c,个体变量：,x,y,z,谓词符号：,P,Q,R,量词符号：,谓词逻辑基础,量词否定等值式：,(,x,）,P,（,x,）,（,y,）,P,（,y,）,(,x,）,P,（,x,）,（,y,）,P,（,y,）,量词分配等值式：,(,x,）,(,P,（,x,）,Q,（,x,）,)(,x,）,P,（,x,）,(,x,）,Q,（,x,）,(,x,）,(,P,（,x,）,Q,（,x,）,)(,x,）,P,（,x,）,(,x,）,Q,（,x,）,消去量词等值式：,设个体域为有穷集合（,a,1,a,2,a,n,）,(,x,）,P,（,x,）,P,（,a,1,）,P,（,a,2,）,P,（,a,n,）,(,x,）,P,（,x,）,P,（,a,1,）,P,（,a,2,）,P,（,a,n,）,谓词逻辑基础,量词辖域收缩与扩张等值式：,(,x,）,(,P,（,x,）,Q,)(,x,）,P,（,x,）,Q,(,x,）,(,P,（,x,）,Q,)(,x,）,P,（,x,）,Q,(,x,）,(,P,（,x,）,Q,)(,x,）,P,（,x,）,Q,(,x,）,(,Q,P,（,x,）,),Q,(,x,）,P,（,x,）,(,x,）,(,P,（,x,）,Q,)(,x,）,P,（,x,）,Q,(,x,）,(,P,（,x,）,Q,)(,x,）,P,（,x,）,Q,(,x,）,(,P,（,x,）,Q,)(,x,）,P,（,x,）,Q,(,x,）,(,Q,P,（,x,）,),Q,(,x,）,P,（,x,）,谓词逻辑基础,谓词逻辑基础,SKOLEM,标准形,前束范式,定义,：说公式,A,是一个前束范式，如果,A,中的一切量词都位于该公式的最左边（不含否定词），且这些量词的辖域都延伸到公式的末端。,谓词逻辑归结原理,即：把所有的量词都提到前面去，然后消掉所有量词,(Q,1,x,1,)(Q,2,x,2,),(Q,n,x,n,)M(x,1,x,2,x,n,),约束变项换名规则：,(Qx,）,M,（,x,）,（,Qy,）,M,（,y,）,(Qx,）,M,（,x,z,）,（,Qy,）,M,（,y,z,）,谓词逻辑归结原理,量词消去原则：,消去存在量词,“,”,，略去全程量词,“,”,。,注意：,左边有全程量词的存在量词，消去时该变量改写成为全程量词的函数；如没有，改写成为常量。,谓词逻辑归结原理,Skolem,定理,：,谓词逻辑的任意公式都可以化为与之等价的前束范式，但其前束范式不唯一。,SKOLEM,标准形定义：,消去量词后的谓词公式。,注意,：谓词公式,G,的,SKOLEM,标准形同,G,并不等值,。,谓词逻辑归结原理,例：,将下式化为,Skolem,标准形：,(,x)(,y)P(a,x,y),(,x)(,(,y)Q(y,b),R(x),解：第一步，消去,号，得：,(,(,x)(,y)P(a,x,y),(,x)(,(,y)Q(y,b),R(x),第二步，深入到量词内部，得：,(,x)(,y)P(a,x,y),(,x),(,y)Q(y,b),R(x),第三步，变元易名，得,(,x)(,y)P(a,x,y),(,u,)(,v,)(Q(v,b),R(u),第四步，存在量词左移，直至所有的量词移到前面，,(,x)(,y)(,u,)(,v,)(P(a,x,y),(Q(v,b),R(u),由此得到前述范式,第五步，消去“,”（存在量词），略去“,”全称量词,消去,(,y),，因为它左边只有,(,x),，所以使用,x,的函数,f(x),代替之，这样得到：,(,x)(,u),(,v,),(P(a,x,f(x),Q(v,b),R(u),消去,(,u),，同理使用,g(x),代替之，这样得到：,(,x),(,v,),(P(a,x,f(x),Q(v,b),R(g(x),则，略去全称变量，原式的,Skolem,标准形为：,P(a,x,f(x),Q(v,b),R(g(x),子句与子句集,文字：不含任何连接词的谓词公式。,子句：一些文字的析取（谓词的和）。,子句集,S,的求取：,G,SKOLEM,标准形,消去存在变量,以,“,，,”,取代,“,”,，并表示为集合形式。,谓词逻辑归结原理,G,是不可满足的,S,是不可满足的,G,与,S,不等价，但在不可满足得意义下是一致的。,定理：,若,G,是给定的公式，而,S,是相应的子句集，则,G,是不可满足的,S,是不可满足的。,注意,：,G,真不一定,S,真，而,S,真必有,G,真。,即：,S,=,G,谓词逻辑归结原理,G=G,1,G,2,G,3,G,n,的子句形,G,的字句集可以分解成几个单独处理。,有,S,G,=S,1,U S,2,U S,3,U,U S,n,则,S,G,与,S,1,U S,2,U S,3,U,U S,n,在不可满足得意义上是一致的。,即,S,G,不可满足,S,1,U S,2,U S,3,U,U S,n,不可满足,3.3,谓词逻辑归结原理,例：对所有的,x,y,z,来说，如果,y,是,x,的父亲，,z,又是,y,的父亲，则,z,是,x,的祖父。又知每个人都有父亲，试问对某个人来说谁是它的祖父？,求：用一阶逻辑表示这个问题，并建立子句集。,解：这里我们首先引入谓词：,P(x,y),表示,x,是,y,的父亲,Q(x,y),表示,x,是,y,的祖父,ANS(x),表示问题的解答,谓词逻辑归结原理,对于第一个条件，“如果,x,是,y,的父亲，,y,又是,z,的父亲，则,x,是,z,的祖父”，一阶逻辑表达式如下：,A,1,：,(,x)(,y)(,z)(P(x,y),P(y,z),Q(x,z),S,A1,：,P(x,y),P(y,z),Q(x,z),对于第二个条件：“每个人都有父亲”，一阶逻辑表达式：,A,2,：,(,y)(,x)P(x,y),S,A2,：,P(f(y),y),对于结论：某个人是它的祖父,B,：,(,x)(,y)Q(x,y),否定后得到子句：（,(,x)(,y)Q(x,y),）,ANS(x),S,B,：,Q(x,y),ANS(x),则得到的相应的子句集为：,S,A1,，,S,A2,，,S,B,谓词逻辑归结原理,归结原理正确性的根本在于，找到矛盾可以肯定不真。,方法：,和命题逻辑一样。,但由于有函数，所以要考虑,合一,和,置换,。,谓词逻辑归结原理,置换：可以简单的理解为是在一个谓词公式中用置换项去置换变量。,定义：,置换是形如,t,1,/x,1,t,2,/x,2,t,n,/x,n,的有限集合。其中，,x,1,x,2,x,n,是互不相同的变量，,t,1,t,2,t,n,是不同于,x,i,的项（常量、变量、函数）；,t,i,/x,i,表示用,t,i,置换,x,i,，并且要求,t,i,与,x,i,不能相同，而且,x,i,不能循环地出现在另一个,t,i,中。,例如,a/x,，,c/y,，,f(b)/z,是一个置换。,g(y)/x,，,f(x)/y,不是一个置换，,谓词逻辑归结原理,置换,置换的合成,设,t,1,/x,1,t,2,/x,2,t,n,/x,n,，,u,1,/y,1,u,2,/y,2,u,n,/y,n,，是两个置换。,则,与,的合成也是一个置换，记作,。它是从集合,t,1,/x,1,t,2,/x,2,t,n,/x,n,u,1,/y,1,u,2,/y,2,u,n,/y,n,中删去以下两种元素：,i.,当,t,i,=x,i,时，删去,t,i,/x,i,(i=1,2,n);,Ii.,当,y,i,x,1,x,2,x,n,时，删去,u,j,/y,j,(j=1,2,m),最后剩下的元素所构成的集合。,合成即是对,t,i,先做,置换然后再做,置换，置换,x,i,谓词逻辑归结原理,例：,设：,f(y)/x,z/y,，,a/x,b/y,y/z,，求,与,的合成。,解：先求出集合,f(b/y)/x,(y/z)/y,a/x,b/y,y/z,f(b)/x,y/y,a/x,b/y,y/z,其中，,f(b)/x,中的,f(b),是置换,作用于,f(y),的结果；,y/y,中的,y,是置换,作用于,z,的结果。在该集合中，,y/y,满足定义中的条件,i,，需要删除；,a/x,，,b/y,满足定义中的条件,ii,，也需要删除。最后得,f(b)/x,，,y/z,谓词逻辑归结原理,合一,合一可以简单地理解为“寻找相对变量的置换，使两个谓词公式一致”。,定义：设有公式集,F,F,1,，,F,2,，,，,F,n,，若存在一个置换,，可使,F,1,F,2,=F,n,，则称,是,F,的一个合一。同时称,F,1,，,F,2,，,.,，,F,n,是可合一的。,例：,设有公式集,F,P(x,y,f(y),P(a,g(x),z),，则,a/x,g(a)/y,f(g(a)/z,是它的一个合一。,注意：一般说来，一个公式集的合一不是唯一的。,谓词逻辑归结原理,谓词逻辑归结原理,谓词逻辑归结原理,谓词逻辑归结原理,归结原理,归结的注意事项：,谓词的一致性,，,P(),与,Q(),，不可以,常量的一致性，,P(a,),与,P(b,.),，不可以,变量，,P(a,.),与,P(x,),，可以,变量与函数，,P(a,x,.),与,P(x,f(x),),，不可以；,是不能同时消去两个互补对，,PQ,与,P,Q,的空，不可以,先进行内部简化（置换、合并）,谓词逻辑归结原理,归结的过程,写出谓词关系公式,用反演法写出谓词表达式,SKOLEM,标准形,子句集,S,对,S,中可归结的子句做归结,归结式仍放入,S,中，反复归结过程,得到空子句,得证,谓词逻辑归结原理,例题,“快乐学生”问题,假设任何通过计算机考试并获奖的人都是快乐的，任何肯学习或幸运的人都可以通过所有的考试，张不肯学习但他是幸运的，任何幸运的人都能获奖。求证：张是快乐的。,解：先将问题用谓词表示如下：,R1:“,任何通过计算机考试并获奖的人都是快乐的”,(,x)(Pass(x,computer)Win(x,prize)Happy(x),R2:“,任何肯学习或幸运的人都可以通过所有考试”,(,x)(,y)(Study(x)Lucky(x)Pass(x,y),R3:“,张不肯学习但他是幸运的”,Study(zhang)Lucky(zh