常见重要不等式

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,常见的几个重要不等式,该幻灯片是介绍初等数学中几个重要的不等式，其中包括平均数不等式，白努力不等式和柯西不等式，最后还列出了几个著名的不等式.由不等式的性质引出新课，一步步将新授课传授给学生.,一、不等式的基本性质,常见的几个重要不等式,六、小结,五、一些有用的不等式,四、柯西不等式的证明与应用,三、白努力不等式的证明与应用,二、平均数不等式的证明与应用,不等式的基本性质,设u=,，v=,(,),2,1,n,x,x,x,g,L,(,),2,1,n,x,x,x,f,L,是,两个取值为实数的函数.若u-v是正数，就说,u大于v,记成uv，也说v小于u,记成v”,“”，,或,连结两个,这样的函数所组成的式子叫作不等式.,形如：,(,),2,1,n,x,x,x,f,L,(,),2,1,n,x,x,x,g,L,(,),2,1,n,x,x,x,f,L,(,),2,1,n,x,x,x,g,L,ab,b,a,2,2,2,+,x,x,x,0,12,11,2,2,3,b,bc,则ac,2.在ab,ab,则a+c b+c,4.不等式的不等号两边移项时符号反号,5.若ab,cd,则a+c b+d,6.若a,b,c b-d,不等式的基本性质,7.若ab,则当c0时,acbc;当c0时,acbc当c=0时,ac=bc,a,x,则-ax0,若,则xa或x,11.若ab0,整数 n1,则,n,n,b,a,10.若ab0,整数 n1,则,9.若ab0,0 b/d,8.若ab0,cd0,则 acbd,不等式的基本性质,完全平方公式引出的不等式,:,由任何数的平方不小于0，则有：,结论：任意两个数的平方和不小于两个数,积的两倍,平均数不等式的证明与应用,定义：,几何平均数,调和平均数,算术平均数,平均数不等式的证明与应用,则,若,由于,令,假定定理1在n=k(k1)时成立，当n=k+1时,证明：,时成立.,中等号当且仅当,定理1,平均数不等式的证明与应用,其,，则,若,知,当=2时，由,(,),0,2,2,1,-,a,a,时等号成立。,其中等号当且仅当,2,1,a,a,=,(1),要证,0,),(,),(,-,-,-,=,y,x,ky,y,x,x,k,k,k,(,),1,1,1,+,-,+,=,+,+,xy,k,x,ky,k,k,k,),(,),(,),(,1,1,1,-,+,+,-,+,-,-,=,-,-,-,y,x,y,y,x,y,y,x,y,x,k,k,k,k,k,L,),)(,(,1,1,-,+,+,+,-,=,-,+,ky,xy,y,x,x,y,x,k,k,k,k,L,(,),1,1,1,2,1,1,2,1,+,-,+,+,+,+,a,a,a,a,k,a,a,a,a,k,k,k,k,k,k,k,L,L,(,),1,1,1,2,1,1,2,1,+,-,+,+,+,+,=,+,+,+,a,a,a,a,k,a,a,a,a,k,k,k,k,k,L,L,至此，证明了定理1对任何整数n1都成立.,所以,(1)成立,当,时，显然（1）取等号.反过来,当,不全相等时，若,中,中至少有两个不等，按归纳假定，（2）不取,若,则,而（3）不取等号.,等号；,时成立.,等号当且仅当,定理1,由定理1还可以得出几个推论：,（即：个正整数的调和平均数不大于它们的,+,+,+,2,1,n,n,x,x,x,L,其中等号当且仅当,1,2,1,=,=,=,=,n,x,x,x,L,时成立,推论2,当且仅当,2,1,=,=,=,n,x,x,x,L,时成立,想一想：定理1的这两个推论应该怎么证明？,平均数不等式的证明与应用,其中,则,若,推论1,1,2,1,0,2,1,=,=,n,i,x,x,x,n,i,x,L,L,则,若,2,1,0,=,i,n,i,x,L,则,其中等号,若,几何平均数）,定理1,及其推论在证明不等式和求最值等方,例1.,已知,N,n,求证,证明：,即得证,平均数不等式的证明与应用,面有广泛的应用,N,n,由定理1有：,对任意,1,1,1,1,+,+,+,+,=,n,n,n,1,1,1,1,+,+,+,=,n,n,1,1,)+1,1,1,(,1,*,1,1,1,1,+,+,+,+,=,+,n,n,n,n,n,n,n,n,_,例2.,求周长为定值的一类四边形的面积的最,如图,则,b,a,设四边形的面积为S，两个内对角为,a,，,b,a,b,c,d,平均数不等式的证明与应用,大值.,解：,2,max,2,=,p,S,4,4,2,4,=,-,+,-,+,-,+,-,p,d,p,c,p,b,p,a,p,),(,2,1,+,+,+,=,d,c,b,a,p,),)(,)(,)(,(,-,-,-,-,=,d,p,c,p,b,p,a,p,2,2,2,2,2,2,2,2,2,),(,2,1,),(,4,1,-,-,+,-,+,d,c,b,a,d,c,b,a,S,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,),cos(,2,2,4,+,-,+,=,-,-,+,+,abcd,d,c,b,a,d,c,b,a,S,b,a,sin,sin,2,+,=,cd,ab,S,b,a,(1),2,2,2,2,cos,cos,),(,2,1,-,=,-,-,+,cd,ab,d,c,b,a,b,a,(2),，,得,：,）,（,）,（,2,2,2,1,+,-,=,-,=,-,=,-,d,p,c,p,b,p,a,p,=,+,p,b,a,因此，,且,时，,定理2,其中等号成立的充要条件为x=0,证明：,其中等号恰在1+,x,=1,即,x,=0时成立,白努力不等式的证明与应用,x,x,n,m,a,+,=,+,=,1,1,n,m,n,x,m,-,+,+,1,*,),(,),1,(,n,m,N,n,m,n,m,a,=,),(,于是,x,x,n,m,n,m,a,+,=,+,-,1,*,1,1,）,（,）,（,2）当,a,1时，,x,x,a,a,+,+,1,1,）,（,1）当,0,a,-1,则,a,a,n,n,=,lim,ax,x,r,r,+,=,+,1,*,1,a,(,),ax,x,+,+,1,1,a,(,),n,x,a,x,n,a,n,=,+,+,2,1,1,1,L,若,a,是小于1的正无理数,取,a,a,a,n,2,1,L,L,由刚才证明的结果,有,(,),(,),(,),ax,x,a,x,x,n,n,a,n,n,+,=,+,+,=,+,1,1,lim,1,lim,1,a,于是,x,0,当x=0时,显然上式取等号.现在证明:当,时,r,1,0,a,r,1,a,取有理数r,使,.这里就有,r,a,(,),(,),x,r,x,x,r,r,+,+,=,+,1,1,1,a,a,于是,即1）得证,其中每一个,都是小于1的正有理数,并使,白努力不等式的证明与应用,定理2,其中等号成立的充要条件为x=0,2）当,a,1时，,x,x,a,a,+,+,1,1,）,（,1）当,0,a,-1,则,证明：,根据,1,1,0,1）,得,由,a,0,1,+,a,x,1,1,*,1,1,),1,(,+,=,+,+,a,a,a,a,x,x,x,于是,1,),1,(,+,+,a,a,x,x,.,显然的,时,等号成立的条件是,或,当,0,a,1,1,1,1,2,-,=,+,-,a,a,a,n,x,n,x,n,x,当,a,a,x,n,1,*,1,1,),1,(,+,=,+,+,+,a,a,a,a,x,x,n,n,n,x,x,n,a,1,),1,(,-,+,-,a,x,n,x,n,1,0,-,+,-,a,a,x,x,又由于,a,1,1,1,),1,(,1,),1,(,+,-,=,+,=,+,-,a,a,a,n,x,x,n,x,x,n,n,从而有,证明：,依定理2的1），有,于是,由上面两个不等式，,即得证,白努力不等式的证明与应用,(,),(,),l,l,l,l,a,a,a,1,1,1,+,-,-,+,(,),(,),l,l,l,l,a,a,a,1,1,1,+,+,+,+,l,l,a,a,1,1,1,1,1,-,-,-,+,l,l,a,a,1,1,1,1,1,+,+,1,-1,l,0,求证,(,),(,),l,l,l,l,l,l,l,a,a,a,a,a,1,1,1,1,1,1,1,1,+,+,+,+,-,+,+,+,+,+,由,定理3.,证明一：,两边同时平方，,即得柯西不等式,柯西不等式的证明与应用,于是,2,1,1,2,1,2,1,1,=,=,=,=,n,i,i,n,i,i,n,i,i,i,n,i,i,i,b,a,b,a,b,a,令,2,1,1,2,2,1,1,2,=,=,=,=,n,i,i,i,i,n,i,i,i,i,b,b,y,a,a,x,1,2,1,2,2,1,=,=,=,n,i,i,n,i,i,n,i,i,i,b,a,b,a,并取,得n个不等式，一起相加，,3,2,1,=,n,i,L,中,(,),2,2,2,1,+,i,i,i,i,y,x,y,x,在已知不等式,2,1,1,2,1,2,1,=,=,=,n,i,i,n,i,i,n,i,i,i,b,a,b,a,有,证明二：,设实变量x的二次函数,即,=,=,=,n,k,k,n,k,k,n,k,k,k,b,a,b,a,1,2,1,2,2,1,于是,=,=,=,-,n,k,k,n,k,k,n,k,k,k,b,a,b,a,1,2,1,2,2,1,0,4,4,=,=,=,+,-,=,n,k,k,n,k,k,k,n,k,k,b,b,a,x,a,x,1,2,1,1,2,2,2,(,),=,-,=,n,k,k,k,b,x,a,2,1,f(x),对任意实数x，总有,0,f(x),的系数是正数,又,例4.,证明三角形不等式：,证明：,按定理3有,两式相加得,柯西不等式的证明与应用,即,(,),2,1,2,1,1,2,1,2,2,1,1,2,+,+,=,=,=,n,i,i,n,i,i,n,i,i,i,b,a,b,a,(,),(,),2,1,2,1,1,2,1,2,2,1,1,2,1,2,+,+,+,=,=,=,=,n,i,i,n,i,i,n,i,i,i,n,i,i,i,b,a,b,a,b,a,(,),(,),2,1,1,2,1,2,1,+,+,=,=,=,n,i,i,n,i,i,i,n,i,i,i,i,b,b,a,b,b,a,1,(,),(,),2,1,2,1,2,1,+,+,=,=,=,n,i,i,n,i,i,i,n,i,i,i,i,a,b,a,a,b,a,(,),(,),(,),1,1,1,2,+,+,+,=,+,=,=,=,n,i,i,i,i,n,i,i,i,i,n,i,i,i,b,b,a,a,b,a,b,a,(,),2,1,2,1,1,2,1,2,2,1,1,2,+,+,=,=,=,n,i,i,n,i,i,n,i,i,i,b,a,b,a,例5.,设三角形的三边为a，b，c，面积为S.,证明：,柯西不等式的证明与应用,(,),c,b,a,c,b,a,2,2,2,2,2,2,2,+,+,+,+,+,(,),(,),ca,bc,ab,c,b,a,c,b,a,2,2,2,2,2,+,+,+,+,+,=,+,+,由海伦公式,c,p,b,p,a,p,p,S,),)(,)(,(,2,-,-,-,=,求证：,S,c,b,a,3,4,2,2,2,+,+,3,p,c,p,b,p,a,p,p,),)(,)(,(,3,-,-,-,由定理1,有,(,),c,b,a,p,2,+,+,=,其中,S,S,p,c,b,a,3,4,3,3,*,3,4,3,4,2,2,2,2,=,+,+,S,p,3,3,2,于是,由定理,3,一些有用的不等式,n,n,n,n,n,b,b,b,n,a,a,a,n,b,a,b,a,b,a,2,1,2,1,2,2,1,1,*,+,+,+,+,+,+,+,+,+,L,L,L,n,i,i,n,i,i,n,i,i,i,y,x,y,x,1,