经济数学42不定积分的概念

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一.不定积分概念,ESC,4.2 不定积分概念与性质,二.不定积分的性质,4.2 不定积分概念与性质,三.不定积分的几何意义,乘法,ESC,一.不定积分概念,1.原函数定义,微分法,逆运算,积分法,在微分学中,我们所研究的问题是寻求已知函数的导数.,但在许多实际问题中,常常需要研究相反问题,就是已知函数的导数,求原来的函数,.,除法,逆运算,ESC,一.不定积分概念,1.原函数定义,案 例,已知曲线 在横坐标为 处的切线,斜率为 且曲线过点 ,求该曲线,的方程.,分析,这是已知曲线 的切线斜率,求曲线方程的问题.,又由导数的几何意义,切线斜率,我们已经知道,也有等式,若 是任意常数,于是我们所求的曲线方程为,依题设,切线斜率,ESC,一.不定积分概念,1.原函数定义,案 例,已知曲线 在横坐标为 处的切线,斜率为 且曲线过点 ,求该曲线,的方程.,我们所求的曲线方程为,这是一族抛物线,而我们要求的是在这一族抛物线中,过点 的那一条,即当 时,我们可以用这个条件来确定任意常数 ,即,从而,所求的曲线方程为,ESC,一.不定积分概念,积分法,逆运算,微分法,微分法是研究如何从已知函数求出其导函数.如已知函数,要求它的导函数:,而案例中的问题则是:已知函数 ,要求一个函数 ,使其导函数恰是:,已知函数 ,要求它的导函数,已知导函数 ,要还原函数,逆问题,ESC,一.不定积分概念,称 是函数 的一个原函数,是任意常数,是函数 的无穷多个原函数,由此可知,一个函数若有原函数,则它必有无穷多个原函数.,ESC,一.不定积分概念,1.原函数定义,定义4.2(原函数定义)在某区间 上,若有,或,则称函数 是函数 在该区间上的一个原函数.,例1,设函数，由,于函数满足,，,所以是的一个原函数,不难看出，,(为任意常数)都是的原函数,ESC,一.不定积分概念,由此例可以看出：如果函数有一个原函数，则就有无穷多个原函数，而这些原函数之间仅差一个常数,（为任意常数）,所以也是的原函数,证明如下：如果是的一个原函数，则,ESC,一.不定积分概念,则由中值定理的推论可知，和仅差一常数，即存在常数，使得,另一方面，如果和都是的原函数，即,，,一般，如果是的一个原函数，则,的全部原函数就是(为任意常数),原函数,的特性,ESC,一.不定积分概念,2.不定积分定义,定义4.3(不定积分定义),函数 的所有原函数,称为 的不定积分,记作,被积表达式,被积函数,积分变量,积分号,由不定积分的定义知,求,被积函数 的不定积分,关键是求出被积函数 的一个原函数,然后再加上任意常数,其中,例2,ESC,前述,解,一.不定积分概念,因,有,因,有,求下列不定积分:,(1),(2),().,(1)被积函数,因为,故,于是,特别地,ESC,解,一.不定积分概念,(2),().,(2)被积函数,由于,故,如,ESC,一.不定积分概念,如,例3,ESC,解,一.不定积分概念,求不定积分,被积函数,当 时无意义.,当 时,因为,所以,当 时,因为,所以,将上面两式合并在一起写,当 时,就有,ESC,一.不定积分概念,例4,求函数 的不定积分,解,因为（或）,所以,（为任意常数）,，,可以证明：如果被积函数在某区间上连续，则在此区间上一定有原函数,ESC,一.不定积分概念,例5,下列函数中是同一函数的原函数的是（）,解：选 因为,故 是同一函数 的原函数。,学生验证其余三个选项。,ESC,一.不定积分概念,例6,设 的一个原函数是 则,。,_。,解：根据定积分的定义，是,全体原函数，而 是 的一个原函数，,所以,按原函数的定义：,从而,一.不定积分概念,ESC,例7,若 的导函数为 ，则,的一个原函数为（）,解：因为 所以,而,取 得 的一个原函数为,故选,二.不定积分的性质,性质1,ESC,求不定积分与求导数或求微分互为逆运算,性质2,不定积分运算性质,或,或,这些性质均可,由不定积分的,定义得到.,二.不定积分的性质,ESC,例8,（1）,设 则,（2）若 则,_。,_。,（3）,_。,解,（1）,（2）,（3）,例9,求下列不定积分:,解(1),(1),二.不定积分的性质,(2),由不定积分的运算性质,解(2),由不定积分的运算性质,ESC,二.不定积分的性质,ESC,注意：(1)原函数、所有原函数表示式、不定积分三个概念之间的关系.,(2)求不定积分,，归结为求出它的一个原函数，再加上一个任意常数,C,，切记要“+,C,”，否则，求出的只是一个原函数而不是不定积分.,(3)可以用求导的方法验证所求不定积分是否正确.,(4)若,=，=，则有,.从而有,即同一个函数的原函数间仅差一个常数.,三.不定积分的几何意义,ESC,如果是的一个原函数，则的不定积分对于每一给定的常数，表示坐标平面上的一条确定的曲线，这条曲线称为的一条,积分曲线,由于可以取任意值，因此不定积分表示的一族积分曲线而其中任意一条积分曲线都可以由曲线 沿 轴方向上、下平移得到。或者说，在每一条积分曲线上横坐标相同的点处所作曲线都是互相平行的。,ESC,三.不定积分的几何意义,ESC,三.不定积分的几何意义,例10,设曲线过点（-1，2），并且曲线上任意一点处切线的斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程,解,设所求曲线方程为过曲线上任意一点的斜率为,，,ESC,三.不定积分的几何意义,所以，是的一个原函数，因为,，,故又曲线过点(-,2)，有,，即,于是所求曲线方程为,ESC,三.不定积分的几何意义,例11,通过各种生产技术试验，制造商发现产品的边际成本是由函数,=,2,q+,6（千元/台）,给出的，式中,q,是产品的单位数量已知生产的固定成本为9千元，求生产成本,解,生产成本的导数 是边际成本即,ESC,三.不定积分的几何意义,所以,其中,C,是任意常数由固定成本的定义，知,C,(0),=,9,推得,C=,9，于是得到满足条件的生产成本,（或,ESC,内容小结,1.不定积分的概念,（1）原函数的定义,（2）不定积分的定义,在某区间 上,若有,则称函数 是函数 在该区间上的一个原函数,.,函数 的所有原函数,称为 的不定积分,记作,ESC,课堂练习,2.,不定积分的性质,性质1,不定积分与求导数或微分互为逆运算,(1),或,(2),或,ESC,课堂练习,3.不定积分的几何意义:,的原函数的图形称为,的,积分曲线,.,的所有积分曲线组成,的平行曲线族.,(，常数).,性质2 不定积分的运算性质,ESC,课堂练习,ESC,课堂练习,1.单项选择题,(1)设 的一个原函数为 ，则 （）,（2）设函数 的导数是 ，则 的全体,原函数是（）,课堂练习,ESC,2.求下列曲线方程,（1）已知曲线在任意一点 处的切线斜率为,，并且曲线过点 。,（2）已知曲线在一点 处切线斜率与 成正比，且曲线过点 。,2.题答案（1）（2）,布置作业,ESC,P74 习题4.1 5、6、7、8.,