17.3一元二次方程的根的判别式

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,17.3一元二次方程根的判别式,广德二中,孔祥珍,知识回顾,2.,说说一元二次方程,ax,2,+,bx,+,c,0,（,a,0,）,的求根公式,.,（,b,2,4,ac,0,）,1.,你能说出我们共学过哪几种解一元二次,方程的方法吗？,直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法,3,.,试试用公式法解下列方程：,（,1,）,x,2,3,x,4,0,；,（,2,）,x,2,4,x,+4,0,；,（,3,）,x,2,+2,x,+3,0.,在求解的过程,中，注意观察,b,2,-,4,ac,的值,.,解：,a,1,，,b,3,，,c,4,，,（,1,）,x,2,3,x,4,0,；,b,2,4,ac,(-,3,),2,41,(-,4,),25,0,x,1,4,，,x,2,1,（,2,）,x,2,4,x,+4,0,；,解：,a,1,，,b,4,，,c,4,，,b,2,4,ac,(-,4,),2,41,(-,4,),0,x,1,x,2,2,（,3,）,x,2,+2,x,+3,0.,解：,a,1,，,b,2,，,c,3,，,b,2,4,ac,2,2,41,3,-8,0,此方程无解,.,想一想：,这三个一元二次方程的解的情况？,（,1,）有两个不相等的实数根；,（,2,）有两个相等的实数根；,（,3,）没有实数根（无解）,.,这三个一元二次方程的解为什么会出现,不同的情况呢？它们的根的情况由哪个因素,来决定呢？何时有两个不相等的实数根？何,时有两个相等的实数根？何时没有实数根？,求根公式：,观察：,b,2,4,ac,0,是二次根式的被开方数,.,因为,a,0,，所以,（,1,）当,b,2,4,ac,0,时，,是正实数，,因此，方程有两个不相等的实数根：,（,2,）当,b,2,4,ac,0,时，,0,，,因此，方程有两个相等的实数根：,（,3,）当,b,2,4,ac,0,时，,在实数范围内,没有意义，,因此方程没有实数根,.,感悟新知：,一元二次方程,ax,2,+,bx,+,c,0,（,a,0,）根的情,况由,b,2,4,ac,来确定，我们把,b,2,4,ac,叫做一元,二次方程,ax,2,+,bx,+,c,0,（,a,0,）根的判别式,.,通,常用符号“,”,来表示，即,b,2,4,ac,.,当,0,时，有两个不相等的实数根；,当,0,时，有两个相等的实数根；,当,0,时，没有实数根,.,一般地，一元二次方程,ax,2,+,bx,+,c,0,（,a,0,），,例题讲解：,特别指出：当,0,时，有两个实数根,.,不解方程，判别下列方程根的情况：,（,1,）,5,x,2,-,3,x,-,2,0,；,（,2,）,25,y,2,+4,20,y,；,（,3,）,2,x,2,+,x,+1,0.,解,：（,1,）因为,(-,3,),2,-,45,(-,2,),49,0,，,所以原方程有两个不相等的实数根,.,解：原方程可变形为：,25,y,2,-,20,y,+,4,0,因为,(-,20,),2,-,4254,0,，,所以原方程有两个相等的实数根,.,解：因为,(),2,-,421,-,5,0,，,所以原方程没有实数根,.,（,1,）,5,x,2,-,3,x,-,2,0,；,（,2,）,25,y,2,+4,20,y,；,（,3,）,2,x,2,+,x,+1,0.,随堂练习,1.,不解方程，判别下列方程根的情况：,(,1,),2,x,2,5,x,4=0,；,(,2,),7,t,2,5,t,+2=0,；,(,3,),x,(,x,+1,),=3,；,(,4,),3,y,2,+25=10,y,.,解：,(,1,),因为,=,(,5,),2,42,(,4,),=57,0,，,所以原方程有两个不相等的实数根,.,(,1,),2,x,2,5,x,4=0,；,(,2,),7,t,2,5,t,+2=0,；,解：,因为,=(,5,),2,472=,31,0,，,所以原方程没有实数根,.,解：,原方程可变形为,x,2,+,x,3=0,，,因为,=1,2,41,(,3,),=13,0,，,所以原方程有两个不相等的实数根,.,(,3,),x,(,x,+1,),=3,；,(,4,),3,y,2,+25=10,y,.,解：原方程可变形为,3,y,2,10,y,+25=0,，,因为,=,(,10,),2,4325=0,，,所以原方程有两个相等的实数根,.,想一想,:,根据前面的结论，运用根的判别式可以不解方程就知道方程根的情况，反过来如果知道了方程根的情况，,的值会怎样呢？,一般地,一元二次方程,当有两个不相等的实数根时,0,；,当方程有两个相等的实数根时，,=0,；,当方程没有实数根时，,0.,特别指出：有两个实数根,.,当,0,时。,例题讲解：,已知关于,x,的方程,x,2,3,x,k,0,，问,k,取何值时，这个方程：,(,1,),有两个不相等的实数根？,(,2,),有两个相等的实数根？,(,3,),没有实数根？,=0,，即：时，方程有两个相等的实数根；,0,，即：时，方程有两个不相等的实数根；,0,，即：时，方程有两个相等的实数根,.,解：因为,=,(,3,),2,41,k,=9,4,k,，,关于,x,的方程,x,2,3,x,k,0,，,试一试：,1.,如果关于,x,的方程,x,2,2,x,+,k,0,（,k,为常数）,有两个不相等的实数根，那么,k,的取值范围,是,_.,k,1,2.,方程,(,m,1,),x,2,+2,mx,+,m,0,有两个不相等的实数,根，则,m,的取值为,_.,m,0,且,m,1,3.,求证：无论,m,取何值，方程,mx,2,(,2,m,1,),x,+,m,2,0,（,m,0,）都有两个不相等的实根,.,证明：,m,0,，,此方程为一元二次方程，,(2,m,1),2,4,m,(,m,2,),4,m,+1,，,m,0,，,4,m,+1,0,，即,0,，,故原方程有两个不相等的实根,.,(,2,),一元二次方程根的情况与根的判别式的关系,.,小结与反思,(,1,),一元二次方程根的判别式；,1,.,本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流,.,2,.,通过本节课的学习你有哪些收获和经验？,谈谈你的感悟,.,布置作业,课本第,36,页：习题,1.2.3.5,题,.,再见！,