212异面直线所成的角

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,异面直线所成的角,复习：,1,、异面直线的概念：,我们把,_,叫做异面直线,2,、,空间两条直线的位置关系有且只有,_,种,：,_,3,、平行公理,4,：,_,。（平行线的传递性）,4,、等角定理：,_,_,不同在任一平面内的两条直线,三,相交、平行、异面。,平行于同一条直线的两直线互相平行,空间中如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。,若,ac,，,bc,则,ab,其特点是,既不相交也不平行,问题,1,：,正方体,ABCDA,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,为,BC,的中点，判断直线,A,1,C,1,、,B,1,C,1,、,C,1,E,、,C,1,C,与直线,AB,的位置关系。,A,B,C,D,A,B,C,D,1,1,1,1,E,说明：,从位置关系来看，同为异面直线，但它们的相对位置却是不同的，说明仅用“异面”来考虑异面直线间的相对位置是不够的。,问题,2,：,用什么来刻划两条异面直线的相对位置呢？,距离和角,问题,3,：,一张纸中画有两条能相交的直线,a,、,b,（但交点在纸外）现给你一副三角板和量角器，限定不许拼接纸片，不许延长纸上的线段，问如何量出,a,、,b,所成角的大小？其理论依据是什么？,a,b,问题,4,：,能否将上述结论推广到空间两直线？,b,异面直线所成角的定义：,直线,a,、,b,是异面直线，经过空间任意一点,O,，分别引直线,a/a,，,b/b,，把直线,a,和,b,所成的锐角（或直角）叫直线,a,和,b,所成的角。,思考：,两条异面直线所成角的大小是否随空间任意点,O,位置的不同而改变？,点,O,可任选，一般取特殊位置，如线段的中点或端点等。,a,b,a,O,O,O,1,a,b,b,1,a,1,探究,:,（,1,）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直,那么,另一条直线是否也与这条直线垂直,?,（,2,）垂直于同一条直线的两条直线是否平行,?,即,a,b,，若,a,c,，则,b,c,下面我们来探究更一般的角的问题,a,b,c,巩固、提高,例,1,、,在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，求：,（,1,）,A,1,B,与,CC,1,所成的角；,D,1,A,B,C,D,A,B,C,1,1,1,分析：,（,1,）,B,1,B,/,CC,1,A,1,BB,1,为,A,1,B,与,CC,1,所成的角,在,A,1,BB,1,中，,A,1,B,1,=,BB,1,；,A,1,BB,1,=45,o,A,1,B,与,CC,1,所成的角为,45,o,-,找,-,证,-,算,-,答,巩固、提高,例,1,、,在正方体,ABCDA,1,B,1,C,1,D,1,中，求：,（,1,）,A,1,B,与,CC,1,所成的角；,口答,（,2,）,A,1,B,1,与,C,1,C,所成的角；,（,3,）,A,1,C,1,与,BC,所成的角；,（,4,）,A,1,C,1,与,D,1,C,所成的角。,A,B,C,D,A,B,C,D,1,1,1,1,（,2,）,A,1,B,1,B,=90,o,（,3,）,A,1,C,1,B,1,=45,o,（,4,）,BA,1,C,1,=60,0,小结二：求异面直线所成的角一般要有四个步骤：,简记为“作（找）,证,算,答”。,（,1,）作图：作（找）出所求的角及题中涉及的有关图形等；,（,2,）证明：证明所给图形是符合题设要求的；,（,3,）计算：一般是利用解三角形计算得出结果。,（,4,）结论。,小结一：这种求法就是利用平移将两条异面直线转化到同一个三角形中，通过解三角形来求解。把这种方法叫做,平移法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，,变式一：,（,07,福建卷）,如图，在正方体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,、,F,、,G,、,H,分别为,AA,1,、,AB,、,BB,1,、,B,1,C,1,的中点，则异面直线,EF,与,GH,所成的角等于（,）,A.45,B.60,C.90,D.120,步骤“作（找）,证,算,答”,A,B,C,D,A,B,C,D,1,1,1,1,E,G,F,H,解：连接,A,1,B,，,BC,1,，,A,1,C,1,A,1,B/,EF,，,BC,1,/GH,A,1,B,C,1,为,EF,1,与,GH,所成的角,在三角形,A,1,BC,1,中，,A,1,B=BC,1,=A,1,C,1,A,1,B,C,1,=60,异面直线,EF,与,GH,所成的角等于,60,例,2,、,在长方体,ABCDA,1,B,1,C,1,D,1,中，,A A,1,=,AB,=2,，,AD,=1,，求异面直线,A,1,C,1,与,BD,1,所成的角的余弦值。,A,B,C,D,A,B,C,D,1,1,1,1,变式,2,：（,05,福建卷）如图，长方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,AA,1,=AB=,2,，,AD=,1,，,E,、,F,、,G,分别是,DD,1,、,AB,、,CC,1,的中点，则异面直线,A,1,E,与,GF,所成的角是,_,。,A,B,C,D,A,B,C,D,1,1,1,1,E,F,G,变式,3,：,在正四面体,SABC,中，,SA,BC,，,E,、,F,分别为,SC,、,AB,的中点，那么异面直线,EF,与,SA,所成的角等于（）,（,A,）,30,（,B,）,45,（,C,）,60,（,D,）,90,A,C,B,S,E,F,课堂小结：,1,、异面直线所成角的定义、范围及其求解。在求解中，一定要紧扣定义中点,O,的任意性，恰当选择。,2,、计算角的大小，要遵循“作,证,算,答”四步骤。,3,、求解异面直线所成的角的方法是“平移法”，也即“化异面为共面”，“化空间为平面”，它突出体现了转化化归的数学思想与方法。在计算的过程中，若直观性不强，则要懂得将平面图形单独分离，有利于计算的直观性。作答时要注意异面直线所成的角的范围的约束。,课后作业：,课本第,48,页练习第,2,题。,补充：,1,、空间四边形,ABCD,中，,PR,分别是,AB,、,CD,的中点，且,PR,=,，,AC=BD,=2,，求,AC,与,BD,所成的角。,2,、正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,M,为,AB,的中点，,N,为,BB,1,的中点，求,A,1,M,与,C,1,N,所成角的余弦值。,D,A,B,C,R,P,A,B,C,D,A,B,C,D,1,1,1,1,