切应力公式推导

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第六章 弯曲应力,61 梁的正应力,一、纯弯曲与平面假设,1、纯弯曲,梁或梁上的某段内各横截面上只有弯矩而无剪力(如图51中的CD段)。,2、横力弯曲,梁或梁上的某段内各横截面上既有弯矩又有剪力(如图61中的AC、BD段)。,a,l,A,B,a,A,C,D,(a),F,F,图61,F,S,图,M,图,(b),(c),F,F,Fa,3、梁的纯弯曲实验,横向线(mn、pq）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为弧线，且,上缩下伸,；横向线与纵向线变形后仍保持垂直。,由梁变形的连续性可知：在梁中一定有一层上的纤维既不伸长也不缩短，此层称为,中性层,。中性层与梁横截面的交线称为,中性轴,。,图62,(b),(a),m,n,p,q,m,n,p,q,F,F,C,D,4、根据表面变形情况，对纯弯曲变形下作出如下假设：,（1）平面假设,梁在纯弯曲时，其,原来的横截面仍保持为平面,，只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后的横截面与梁弯曲后的轴线保持垂直。,（2）单向受力假设,梁的纵向纤维处于单向受力状态，且纵向纤维之间的相互作用可忽略不计。,二、正应力公式的推导,1、几何方面,相应的纵向线应变为：,（61）,弧线,O,1,O,2,的长度为：,(a),距中性层为,y,处的纵向纤维,ab,的伸长为：,(b),图63,(b),中性层,中性轴,a,b,O,1,O,2,m,n,p,q,(a),d,x,m,n,p,q,d,y,(c),d,x,a,b,O,2,O,1,2、物理方面,将式 代入，得,（62）,此式表明，,梁横截面上的正应力与其作用点到中性轴的距离成正比，,并且在,y,坐标相同的各点处正应力相等,，如图,54,所示。,图64,梁的各纵向纤维均处于单向受力状态，因此，在弹性范围内正应力与线应变的关系为：,(c),3、静力学方面,由图,64,可以看出，梁横截面,上各微面积上的微内力,d,F,N,=,d,A,构成了空间平行力系，它们向截面形心简化的结果应为以下三个内力分量,，,，,由截面法可知，上式中的,F,N,，,M,y,均等于零，而,M,Z,就是该截面上的弯矩,M,，所以有,(d),(e),(f),图64,又,因为 不等于零，所以有,(,g,),即梁横截面对中性轴（,z,轴）的静矩等于零。由此可知，,中性轴通过横截面的形心,，于是就确定了中性轴的位置。,(d),(e),(f),由式（,e,）可得,因此,(,h,),即梁横截面对,y,、,z,轴的惯性积等于零，说明,y,、,z,轴应为横截面的,主轴,，又,y,、,z,轴过,横截面的形心，所以其应为横截面的,形心主轴,。,(d),(e),(f),最后由式（,f,）可得,上式中的,EI,z,称为梁的,弯曲刚度,。,将式（,63,）代入式（,62,），可得,梁在纯弯曲时横截面上任一点的正应力的计算公式为,（64）,（63）,即有,y,z,O,d,A,y,z,h,b,应用此式时，如果如图中那样取,y,轴向下为正的坐标系来定义式中,y,的正负，则在弯矩,M,按以前的规定确定其正负的情况下，所得正应力的正负自动表示拉应力或压应力。但实际应用中往往直接根据横截面上弯矩的转向及求正应力之点在中性轴的哪一侧来判别弯曲正应力为拉应力还是压应力；在此情况下可以把式中的,y,看作求应力的点离中性轴,z,的距离。,三、梁在纯弯曲时横截面上任一点的正应力的计算公式为,（64）,四、横截面上的最大应力,y,c,max,y,t,max,y,z,b,d,1,h,O,d,2,中性轴,z,为横截面对称轴的梁 其横截面上最大拉应力和最大压应力的值相等；中性轴,z,不是横截面对称轴的梁(如图)，其横截面上的最大拉应力和最大压应力的值不相等。,中性轴,z,为横截面的对称轴时，横截面上最大拉、压应力的值为,（65）,式中，,Wz,为截面的几何性质，称为,弯曲截面系数,，其单位为m,3,。,横截面上应力分布,h,b,z,y,o,y,c,max,y,t,max,y,z,b,d,1,O,d,2,中性轴,z,不是横截面的对称轴时，其横截面上最大拉应力值和最大压应力值为,在竖向荷载作用下，通常梁横截面上不仅有,弯矩,而且有,剪力,，这种情况下我们称之为,横力弯曲。,而实际工程中的梁，大多发生的都是,横力弯曲。,对于工程实际中常用的梁，应用纯弯曲时的正应力计算公式来计算梁在横力弯曲时横截面上的正应力，所得的结果虽略偏低一些，但足以满足工程中的精度要求,。,五、横力弯曲,解：,先求出,C,截面上弯矩,例题61,长为,l,的矩形截面梁，在自由端作用一集中力,F,，已知,h,=0.18m，,b,=0.12m，,y,=0.06m，,a,=2m，,F,=1.5kN，求,C,截面上,K,点的正应力。,例题61图,截面对中性轴的惯性矩,将,M,C,、,I,z,、,y,代入正应力计算公式，则有,K,点的正应力为正值，表明其应为拉应力。,62 梁的正应力强度条件及其应用,一、梁的正应力强度条件,对梁的某一横截面来讲，最大正应力发生在距中性轴最远的位置，此时,而对整个等截面梁来讲，最大正应力应发生在弯矩最大的横截面上，距中性轴最远的位置，即,（65）,式中的,W,z,称为,弯曲截面系数,，它与梁的截面形状和尺寸有关。,对矩形截面,对圆形截面,各种型钢的截面惯性矩,I,z,和弯曲截面系数,W,z,的数值，可以在型钢表中查得。,为了保证梁能安全的工作，必须使梁横截面上的最大正应力不超过材料的许用应力，所以,梁的正应力强度条件,为,（66）,式中的,W,z,称为,弯曲截面系数,，它与梁的截面形状和尺寸有关。,二、三种强度问题的计算,根据式（66）可以求解与梁强度有关的三种问题。,（,2,）,选择截面,（,3,）,确定许用荷载,（,1,）,强度校核,由梁的弯矩图可以看出，梁中最大弯矩应发生在跨中截面上，其值为,弯曲截面系数为,由于最大正应力应发生在最大弯矩所在截面上，所以有,所以满足正应力强度要求。,例题,6-2,一矩形截面简支木梁如图所示，已知,l,=4m,，,b,=140mm,，,h,=210mm,，,q,=2kN/m,，,弯曲时木材的许用正应力,=10Mpa,，校核该梁的强度。,例题52图,解：,先画梁的弯矩图（图,b,）。,例题62图,例题53图,例题63,一形截面的外伸梁如图所示。已知：,l,=600mm，,a,=110mm，,b,=30mm，,c,=80mm，,F,1,=24kN，,F,2,=9kN，材料的许用拉应力,t,=30MPa，许用压应力,c,=90Mpa,试校核梁的强度。,（,2,）,确定截面形心,C,的位置,（,3,）,截面对中性轴的惯性矩,解：,（,1,）,先画出弯矩图（图,b,）,例题63 图,（4）强度校核,因材料的抗拉与抗压强度不同，而且截面关于中性轴不对称，所以需对最大拉应力与最大压应力分别进行校核。,校核最大拉压力,。,由于截面对中性轴不对称，而正、负弯矩又都存在，因此，最大拉应力不一定发生在弯矩绝对值最大的截面上。应该对最大正弯矩和最大负弯矩两个截面上的拉应力进行分析比较。在最大正弯矩的,C,截面上，最大拉应力发生在截面的下边缘，其值为,在最大负弯矩的,B,截面上，最大拉应力发生在截面的上边缘，其值为,校核最大压应力,。,首先确定最大压应力发生在哪里。与分析最大拉应力一样，要比较,C,、,B,两个截面。,C,截面上最大压应力发生在上边缘，,B,截面上的最大压应力发生在下边缘。因,M,C,和,y,1,分别大于,M,B,与,y,2,，所以最大压应力应发生在,C,截面上，即,由以上分析知该梁满足强度要求。,例题64,如图所示的简支梁由工字钢制成，钢的许用应力,=152MPa，试选择工字钢的型号。,例题64 图,解：,先画出弯矩图如图,b,所示。,例题64 图,梁的最大弯矩值为,由梁的正应力强度条件可得梁所必需的,弯曲截面系数,由型钢规格表查得,56b,号工字钢的,W,z,为,此时最大正应力,超过许用应力值,152MPa,不到,1%,，故可选用,56b,号工字钢。,(b),M,图,375kN.m,281kN.m,281kN.m,63 梁横截面上的切应力 梁的切应力强度条件,1、两点假设,（1）,横截面上各点处的切应力均与侧边平行。,（2）,横截面上距中性轴等距离各点的切应力相等。,2、切应力公式的推导,一、矩形截面梁的切应力,图65,微段梁上的应力情况如图,106b,所示。,从图55所示的梁中取出长为d,x,的微段，如图5-6a所示。,图66,F,S,M,F,S,M,+d,M,d,x,(a),现假设用一水平截面将微段梁截开，并保留下部脱离体，由于脱离体侧面上存在竖向切应力,，根据切应力互等定理可知，在脱离体的顶面上一定存在切应力,，且,=,如图106c所示。,微段梁上的应力情况如图66b所示。,(b),d,x,d,x,(c),y,y,z,得,（a）,由,以,F,N1,、,F,N2,分别代表作用在脱离体左侧面、右侧面上法向内力的总和，d,F,S,代表水平截面上切应力的总和，如图66d。,d,x,(d),F,N2,F,N1,d,F,S,其中,（b）,式中的,A,1,是横截面上距中性轴为,y,的横线以外部分的面积（图66e），,是,A,1,对中性轴的静矩。,b,h,z,y,A,1,(e),y,同样有,（c）,由于微段的长度很小，脱离体水平截面上的切应力可认为是均匀分布的，所以有,（d）,将,F,N1,、,F,N2,、,dF,S,代入式（,a,），得,经整理得,（68）,式（68）即为矩形截面梁横截面任一点的切应力计算公式。式中：,F,S,为横截面上的剪力；,S,z,*,为面积,A,1,对中性轴的静矩；,I,z,横截面对中性轴的惯性矩；,b,为截面的宽度。,（68）,对于矩形截面梁，由图,67a,可知,图67,max,(b),b,h,z,y,A,1,(a),y,将其代入式（,68,），可得,式中的,A,=,bh,是横截面的面积。由此可见，矩形截面梁横截面上的最大切应力是截面上平均切应力的,1.5,倍。,此式表明矩形截面梁横截面上切应力沿梁高按二次抛物线形规律分布。在截面上、下边缘（）处，,=0,，而在中性轴上（,y,=0,）的切应力有最大值，如图,57b,。即,max,(b),b,h,z,y,A,1,(a),y,例题65,一矩形截面的简支梁如图所示。已知：,l,=3m，,h,=160mm，,b,=100mm，,y,=40mm，,F,=3kN，求,m,m,截面上,K,点的切应力。,解：,先求出,m,m,截面上的剪力为,3kN,，截面对中性轴的惯性矩为,面积,A,*,对中性轴的静矩为,则,K,点的切应力为,习题65图,F,l/3,l,/,3,F,A,l/3,B,l,/,6,m,m,z,b,K,y,h,y,*,A,*,二、工字形截面梁的切应力,工字型截面是由上、下翼缘及中间腹板组成的。,1,、,腹板上的切应力,由于腹板是狭长矩形，完全可以采用前述两个假设，因此上节推导的切应力的计算公式，对于工字型截面的腹板来讲也是适用的，即,式中：,F,S,为横截面上的剪力；,S,z,*,为欲求应力点到截面边缘间的面积对中性轴的静矩；,I,z,为横截面对中性轴的惯性矩；,b,1,为腹板的厚度。,切应力沿腹板高度的分布规律如图58a所示，仍是按抛物线规律分布，最大切应力,max,仍发生在截面的中性轴上。,图68,翼缘上的切应力的情况比较复杂，既有平行于,y,轴的切应力分量（竖向分量），也有与翼缘长边平行的切应力分量（水平分量）。当翼缘的厚度很小时，竖向切应力很小，一般不予考虑。,翼缘上的水平切应力可认为沿翼缘厚度是均匀分布的，其计算公式仍与矩形截面的切应力的形式相同，即,式中,F,S,为横截面上的剪力；,S,z,*,为欲求应力点到翼缘边缘间的面积对中性轴的静矩；,I,z,横截面对中性轴的惯性矩；,为翼缘的厚度。,2、翼缘上的切应力,图68,水平切应力沿水平方向的分布如图