最速降线问题课件

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,上海交通大学数学科学学院,数学实验,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,寻找最速降线,数学给我们一个用之不竭,充满真理的宝库,这些真理不是孤立的,而是以相互密切的关系并立着,而且随着科学的每一成功进展,我们会不断发现这些真理之间的新的接触点,.,C.F.Gauss,数学既不严峻,也不遥远,它和几乎所有的人类活动有关,又对每个真心对它感兴趣的人有益,.,R.C.Buck,介绍一类最优问题的求解新框架,-,变分方法,连续,多元函数极值,积分等,内容提要,回顾微积分有关知识,复习微分方程求解的解析与数值方法,最速降线求解的仿真方法,1696,年,John Bernoulli,向他的兄长和其他,数学家挑战性地提出了最速降线（捷线）问题,:,一质量为,m,的质点，在重力作用下从定点,A,沿曲线下滑到定点,B,，,A,B,试确定一条曲线，使得质,点由,A,到,B,下滑时间最短,.,假定,B,比,A,低，不计摩擦力,和其他阻力等因素,.,此问题导致数学新分支的产生,.,背景故事,思考,这是一个求最值的问题,与求函数的极值一样吗？,与求线性规划问题中的极值一样吗？,它的数学形式怎样？,历史,1697,年,5,月号“教师学报”接收了,5,篇解答报告,贝努利,约翰,Bernoulli,Johann,欧洲著名科学家族,涉猎,微积分、微分方程、解析几,何、概率论以及变分法,谁发现,LHospital,法则,欧拉的指导者和老师,更贡献于物理、化学和天文学,瑞士的骄傲,问题的数学形式,A,B,x,y,b,设曲线为,满足,y,(0)=0,y,(,b,)=,H,我们要求的是怎样的函数,y,(,x,),下滑的时间,质点沿,y=y,(,x,),若,使得,T(,y,),取得最小值,求,minT(,y,),近似方法,如图建立坐标系,设,A,为原,点,B,为,(,b,H,),将带状区域,直线,y=y,k,=k H/n,把这区域,A,B,x,y,b,y,k-,1,x,k-,1,y,k,x,k,分成,n,个带状小区域,.,在带状域,y,k,-1,yy,k,可近似认为,而曲线段近似认为是直线段,其长度,0,y,1e-10,s=0;,for j=1:n,v=sqrt(2*g*j*h);s=s+v/sqrt(1.0-c2*v2);,end,f=c-b/(h*s);,if f0,d=c;else a=c;,end,c=(a+d)/2;i=i+1;end,x(1)=sqrt(g*h/2)*c*h/sqrt(1.0-c*c*2*g*h);,T=sqrt(x(1)-a)2+h2)/sqrt(2*g*h),for k=2:n,v=sqrt(2*g*k*h);x(k)=x(k-1)+c*v*h/sqrt(1.0-c*c*v*v);,T=T+sqrt(x(k)-x(k-1)2+h2)/v;,end,plot(x,-(0.1:h:H),*r),利用数学软件求近似最速降线和最短时间,利用数学软件求解得到的曲线,再作分析,质点要走最快的路线,(,曲线,),，应该如何变化？,依然用从质点速度变化的角度考虑,设质点从,A,1,经直线,l,到达,A,2,，,质点速度在,l,的,上侧为,v,1,，,下侧为,v,2,，,则质点如何运动才最省时？,A,1,A,2,1,2,C,l,O,D,如图,若,A,1,A,2,到,l,的垂足分,为,a,b,OD=,c,质点经过,l,于,C,设,别为,O,D,A,1,A,2,到,l,的距离分别,OC=,x,那么质点由,A,1,到,A,2,需时间,唯一驻点满足,也即,这就是光学中的,Snell,折射定律,A,1,A,2,1,2,C,l,O,D,x,a,b,C,-,x,建立数学模型,分析：如图建立坐标系，,弧,AB,分割成小段,考虑在第,k,A,B,x,y,b,k+,1,k,层与,k,+1,层质点在曲线上的下,滑，依能量守恒律，可近似,认为质点在每层内的速度不,变，于是依辅助结论知,注意上式对任何,k,成立，,用与,x,轴平行的直线将,A,B,x,y,b,令平行线的间距趋于零，我们就得到在曲线,上任何一点,其中,为该点切线与铅垂线,的夹角,故导出,导出微分方程,A,B,x,y,b,又因,于是得到,一个引理,设集合,E,0,=,g,(,x,),C,1,g,(,a,)=,g,(,b,)=0,如果在,a,b,上连续函数,f,(,x,),满足,那么,f,(,x,),0,对,g,(,x,),E,0,，,总有,另一种方法变分法,A,B,x,y,b,设曲线为,满足,y,(0)=0,y,(,b,)=,H,在曲线上,P,(,x,y,）,处质点速度为,又设从,A,到,P,的弧长为,s,则,从而质点沿曲线由,A,到,B,需时间,那么我们的问题成为,求某个,使得,引进集合,显然若,是最速曲线函数,则,于是函数,在,取得最小值,故得,设集合,那么对,依复合函数求导法,注意第二项,为了计算,记,上式乘以,这里,于是导出,注意从降线定义可知,故,1,）可求解析解,解法,2,）也可以用数值方法，例如欧拉法求解,得到方程为,由于在原点,y,=0,可改写方程,求解析解,提示：,解析解,function cycloid1(b,H,n),if nargin=2,%,两个参数则默认,n,为,100,n=100;,end,g=9.8;,h=H/n;,minc=0;maxc=1/sqrt(2*g*h*n);,x=0;y=0;,while abs(b-x)1e-4,x=0;,c=(minc+maxc)/2;,%,二分法求,c,值,for j=1:n,y=j*h;,v=sqrt(2*g*y);,x=x+c*v*h/sqrt(1-c2*v2);,gx(j)=x;,gy(j)=y;,end,最速降线问题仿真方法,Matlab,程序,if xb,%,判断最后一个点与所给点的位置情况,minc=c;,else,maxc=c;,end,end,T=0;,for j=1:n,v=sqrt(2*g*j*h);,if j=1,s=sqrt(gx(1)2+h2);,else,s=sqrt(gx(j)-gx(j-1)2+h2);,end,T=T+s/v;,end,plot(gx,-gy);,T,end,取,b,=,H,=10,，,n,=100,实验任务,1.,分别用数值方法和解析方法求出的最速降线,的曲线和下降时间,将两种结果比较,2.,在一条直线,l,的上侧有两个点,A,B,试找出一条从,A,到,B,的曲线,使得这曲线绕,l,旋转所得的旋转面,的面积最小,.,设直线,l,与点,A,B,在,xy,平面，,l,为,x,轴，,A,为,(0,（,e+e,-1,)/2),B,为,(3,，,(e,2,+e,-2,)/2),(,设,b=,/,2,H=1,),用曲线连接面上,A(0,0,1),B(1,3,0),两点,求使得,AB,弧长最短的曲线,(,短程线,),4.,在第,3,题中，将曲面改为,求在曲面上连接,A(1,0,1),B(0,2,2),的最短弧线,（建议以数值和解析两种方法求解加以比较）,3.,圆柱面方程为,上任何一点无摩擦地滑到最低点,试求下滑所,5.,若求出最速降线的曲线方程,试将质点从曲线,需时间,注：若选择本次实验，必须完成任务,1,、,2,谢谢各位！,