1.5.1二项式定理

,二项式定理,情景导入,牛顿的思考：,1664,年冬，牛顿研读沃利斯博士的,无穷算术,探究发现,问题,1:,你能将其他,问题,2:,你能得到,(,a,+,b,),n,的展开式吗？,展开式写成类似的形式吗？,探究发现,思路：,a,n-,r,b,r,是从,n,个,(,a,+,b,),中取,r,个,b,和余下,n,-,r,个,a,相乘得到的,有 种情况可以得到,a,n-,r,b,r,(,n,N,*),.,(,n,N,*),故每一项都是,a,n,-,r,b,r,的形式，,这,n,个,(,a,+,b,),中各任取一个字母相乘得到的，每一项都是,n,次的。,r=0,1,n,;,展开式中为什么会有那几种类型的项？,展开式中各项的系数是怎么来的？,(,a,+,b,),n,是,n,个,(,a,+,b,),相乘，,二项式定理:,因此,该项的系数为,展开式中的每一项都是从,证,明,中,主,要,运,用,了,计,数,原,理,！,注,:,(2),定理中的,a,b,仅仅是一种符号，它可以是,任意的数或式子,什么的，只要是,两项相加的,n,次幂,，就能运用二项式定理展开。,(1),公式左边叫作,二项式,，右边叫作,(,a,+,b,),n,的,二项展开式,；,概念理解,二项式定理:,(,n,N,*),r=0,1,n,;,实战演练,求二项式 的展开式,。,解,:,例,1,、,用,x,代替公式中的,a,，用,1/x,代替公式中的,b,再次强调了定理中的,a,b,仅仅是一种符号，它可以是,任意的数或式子,，只要是,两项相加的,n,次幂,，就能运用二项式定理展开。,（,a,）二项式展开式的项数、次数的规律是什么？,（,1,）项数：有,n+1,项,（,b,）二项式展开式中哪一项最有代表性？,二项展开式的,通项,：,概念理解,（,c,）展开式中那些组合数,(r,0,，,1,，,2,，,n),称为二项式系数。那它是不是等于展开式的系数呢？,（,2,）次数：各项的次数都为,n,字母,a,按,降幂,排列，次数由,n,递减到,0,字母,b,按,升幂,排列，次数由,0,递增到,n,.,(,n,N,*),r=0,1,n,;,例,2,、,（,2,）、展开式的第,3,项系数是多少？,（,3,）、展开式的第,3,项二项式系数是多少？,（,1,）、展开式的第,3,项是多少？,解,:,第三项的,系数,第三项的,二项式系数,实战演练,思考：你能否不求展开式直接求展开式的第,3,项系数？,实战演练,解,:,所以，第三项为,240 x,；第三项二项式系数为,15,；第三项系数为,240,。,显然二项式系数和系数是两个不同的概念，二项式系数就是一个组合数，与,a,、,b,无关；系数，与,a,、,b,有关。,（利用通项公式来求解）,实战演练,解,:,（,4,）、,求展开式的常数项。,根据题意，,则常数项为,二项展开式的通项公式，其中含有,a,，,b,，,n,，,r,，,T,五个量，显然，知道其中的几个或他们的某些关系，可以求另外的几个,如求特定项、特定项系数等。,实战演练,例,3,、已知 的二项展开式中，前三项系数成等差数列,，,（,1,）求,n,；,（,2,）求二项式展开式所有有理项的二项式系数和；,实战演练,解,:,(1),前三项的系数分别为,成等差数列。,实战演练,解,:,r,一定是,4,的倍数，,根据题意，,所以有理项为,T,1,，,T,5,，,T,9,，,所以有理项的二项式系数和,感悟,分享,我们的收获.,