理论力学习题解答

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,习题解答,理论力学,14-12、图示滑道连杆机构，位于水平面内。曲柄长,r,，对转轴的转动惯量为 J；滑块 A 的质量不计。今在曲柄上作用一不变转矩 M，初瞬时系统处于静止，且AOB=,0,，求曲柄转一周后的角速度。,v,a,v,e,v,r,由动能定理,14-13、图示曲柄连杆机构位于水平面内。曲柄重 P、长为,r,，连杆重 W、长为,l,，滑块重 G，曲柄及连杆可视为均质细长杆。今在曲柄上作用一不变转矩 M，当BOA=,90,0,时 A 点的速度为,u,，求当曲柄转至水平位置时 A 点的速度。,14-14、图示行星齿轮机构位于水平面内，动齿轮A重P、半径为r，可视为均质圆盘；系杆OA重W，可视为均质细杆；定齿轮半径为R。今在系杆上作用一不变的转矩M使轮系由静止而运动，求系杆的角速度与其转角,的关系。,14-15、均质细杆重,Q,、长为,l,，上端靠在光滑的墙上，下端,A,以铰链和一均质圆柱的中心相连。圆柱重,P,、半径为,R,，放在粗糙的地面上，从图示位置（,=45,）由静止开始作纯滚动。求,A,点在初瞬时的加速度。,v,A,v,B,D,解：取系统为研究对象。则任意瞬时系统动能为,C,v,C,其中,所以,v,A,v,B,D,C,v,C,由于系统为理想约束，只有重力作功，所以元功为,Q,由动能定理的微分形式,得,因,所以,解得,令,=45,，,v,A,=0，,得,14-20.,图示正方形均质板的质量,m,=40kg,边长,b,=100mm,在铅垂面内用三绳拉住。试求:(1),绳,FG,剪断瞬间,正方形板的加速度以及,AD,和,BE,两绳的张力;(2)当,AD,和,BE,两绳位于铅直位置时,板中心,C,的加速度和两绳的张力,。,b,60,B,A,F,G,D,E,C,b,60,B,A,F,A,C,F,B,m,g,a,Cn,a,C,解:,(1),板作平动,初始位置受力如图。,板作平动,绳,FG,剪断瞬间:,v,C,=0,=0,a,Cn,=0,a,C,=,a,C,m,a,C,=,mg,cos 60,J,C,=,M,C,(,F,i,),0=,F,A,+,F,B,mg,sin 60,由质心运动定理有,(,F,B,F,A,),sin 60,(,F,A,+,F,B,),cos 60,=0,由以上方程即可解出,F,A,、,F,B,和,a,C,。,(2)两绳位于铅直位置时,受力如图。,b,60,B,A,F,A,C,F,B,m,g,a,Cn,a,C,m,a,C,=0,m,a,Cn,=,F,A,+,F,B,mg,F,B,(,b/,2,),F,A,(,b/,2,)=0,式中:,a,Cn,=,v,C,2,/,再由动能定理的积分形式,初时刻系统的动能,T,2,T,1,=,W,i,T,1,=0,两绳位于铅直位置时,系统的动能,T,2,=,mv,C,2,/,2,而,b,60,B,A,F,A,C,F,B,m,g,a,Cn,a,C,W,i,=,mg,(1,sin 60,),mg,(1,sin 60,)=,mv,C,2,/,2,m,a,C,=0,m,a,Cn,=,F,A,+,F,B,mg,F,B,(,b/,2,),F,A,(,b/,2,)=0,即可解出,F,A,和,F,B,。,14-21.,图示三棱柱,A,沿倾角为,的斜面,B,无摩擦地滑动,A,和,B,的质量分别为,m,1,和,m,2,斜面,B,置于光滑的水平面上。试求任意时刻斜面,B,的加速度,。,A,B,解:,斜面,B,B,A,m,2,g,F,N,a,B,m,2,a,B,=,F,N,sin,F,N,m,1,g,a,B,a,r,三棱柱,A,a,A,=,a,B,+,a,r,运动学关系:,m,1,(,a,B,+,a,r,)=,m,1,g,+,F,N,+,m,1,a,B,sin,=,m,1,g,cos,F,N,a,B,=(,m,1,g,sin 2,)/2(,m,2,+,m,1,sin,2,),14-22.,图示圆环以角速度,绕铅直轴,AC,转动,圆环的半径为,R,对转轴的转动惯量为,J,。质量为,m,的小球最初放在环中,A,点,受微扰后沿环滑下。不计摩擦,求小球到达,B,和,C,时,圆环的角速度和小球的速度,。,A,B,C,解:,圆环和小球所组成的系统在运动过程中对,z,轴的动量矩守恒,。初始时刻小球的速度为零,圆环的角速度为,。设小球在,B,和,C,处时的速度分别为,v,B,和,v,C,圆环的角速度分别为,B,和,C,则有,A,B,C,L,zA,=,J,L,zC,=,J,C,L,zB,=,J,B,+M,z,(,m,v,B,),=,J,B,+M,z,(,m,v,e,),+M,z,(,m,v,r,),z,=,mR,2,B,L,zB,=,J,B,+,mR,2,B,m,g,L,zA,=,L,zB,=,L,zC,因为,L,zA,=,J,L,zC,=,J,C,L,zB,=(,J,+,mR,2,),B,C,=,B,=,/,(,J,+,mR,2,),再应用动能定理求小球的速度。,T,A,=,J,2,/,2,T,B,=(,J,B,2,+,mv,B,2,)/2,W,AB,=,mgR,T,B,T,A,=,W,AB,A,B,C,z,m,g,mv,B,2,+J,(,B,2,2,),=2,mgR,由此即可解出,v,B,。而,T,C,=(,J,C,2,+,mv,C,2,)/2,W,AC,=2,mgR,mv,C,2,+J,(,C,2,2,),=4,mgR,A,B,C,z,m,g,A,B,r,O,14-23.,质量为,m,0,的物块静止于光滑的水平面上。一质量为,m,的小球最初位于,A,处,后沿物块上半径为,r,的光滑半圆槽无初速地滑下。若,m,0,=3,m,试求小球滑到,B,处时相对于物块的速度及槽对它的压力,。,A,B,r,O,解:,(1)系统在水平方向动量守恒,初始时刻小球和物块的速度均为零,设小球在,B,处时的绝对速度为,v,B,物块的速度为,v,e,则有,v,B,=,v,e,+,v,r,v,r,v,e,v,B,=,v,e,v,r,m,(,v,e,v,r,),+m,0,v,e,=,0,v,r,=,4,v,e,m,g,初始时刻系统的动能,T,1,=0,小球在,B,处时系统的动能,A,B,r,O,v,r,v,e,m,g,T,2,=,m,(,v,e,v,r,),2,+,m,0,v,e,2,/2,W,i,=,mgr,而,故由动能定理可得,v,r,=,4,v,e,m,(,v,e,v,r,),2,+,m,0,v,e,2,/2,=,mgr,A,B,r,O,(2),设小球在,B,处时的绝对速度为,a,B,物块的速度为,a,e,则有,a,B,=,a,e,+,a,rn,+,a,r,a,r,a,e,a,r,n,m,g,F,N,m,a,B,=,m,(,a,e,+,a,rn,+,a,r,),=,m,g,+,F,N,ma,rn,=,F,N,mg,式中,a,rn,=,v,r,2,/r,F,N,=,11,mg,/3,O,A,14-25.,图示均质杆,OA,长为,l,质量为,m,1,;均质圆盘半径为,R,质量为,m,2,。不计摩擦,初始时刻杆,OA,水平,杆和圆盘静止。试求杆与水平成,角时,杆的角速度和角加速度,。,解:,以圆盘为研究对象,因外力对质心,A,的矩为零,故圆盘相对于质心,A,的动量矩守恒。初始时刻圆盘静止,L,A,1,=0,。设杆与水平成,角时,圆盘的角速度为,A,则有,O,A,O,A,L,A,2,=,J,A,A,L,A,2,=,L,A,1,A,=0,A,以杆和圆盘组成的系统为研究对象,初始时刻系统的动能,T,1,=0,杆与水平成,角时系统的动能,O,A,O,A,O,A,A,=0,v,A,m,2,g,m,2,g,m,1,g,m,1,g,而,W,i,=(,m,1,+2,m,2,),gl,(sin,)/2,代入动能定理,T,2,T,1,=,W,i,即可解出,O,A,O,A,O,A,v,A,14-28.,、均质细杆AB长为,l,，质量为,m,，起初紧靠在铅垂墙壁上，由于微小扰动，杆绕B点倾倒如图。不计摩擦。求：（1）B 端未脱离墙时AB杆的角速度和角加速度及B处的约束力；（2）B端脱离墙时的,1,角；（3）杆着地时质心的速度及杆的角速度。,解：（1）B 端未脱离墙时AB杆作定轴转动，由动能定理有,解得：,对式求导,解得：,F,Bx,F,By,a,C,a,C,n,由质心运动定理，有,（2）令,得,即,（3）从 B端脱离墙开始，系统水平方向动量守恒。,B,A,C,v,B,v,CB,v,C,从 B端脱离墙开始，应用动能定理，有,其中,解方程，可得,B,A,C,v,B,v,CB,v,C,如图所示，有,综-9,(),.,图示斜面,D,的倾角为,重物,A,沿斜面下滑,A,和,B,的质量分别为,m,1,和,m,2,滑轮,C,和绳的质量及一切摩擦均忽略不计,试求斜面,D,作用于地面凸出部分,E,的水平压力,。,A,B,D,C,E,解:,以整个系统为研究对象,受力如图示。任意时刻系统的动能为,A,B,D,C,E,m,1,g,m,2,g,F,x,v,T,=,(,m,1,+,m,2,),v,2,/,2,d,T,=,(,m,1,+,m,2,),v,d,v,W,i,=(,m,1,sin,m,2,),g,d,s,而,a,=(,m,1,sin,m,2,),g,/(,m,1,+,m,2,),A,B,D,C,E,m,1,g,m,2,g,F,x,v,a,=(,m,1,sin,m,2,),g,/(,m,1,+,m,2,),再由质点系动量定理在水平方向的投影可得,x,将,a,代入即可得水平压力,F,x,。,B,A,综-15.,质量为,m,=4kg的均质杆,用两根等长的平行绳悬挂,如图所示。试求其中一根,绳被剪断瞬间,另一绳的张力,。,B,A,C,m,g,F,T,a,C,解:,以,AB,为研究对象,绳断瞬间受力如图示。因为水平方向无外力作用,故,a,C,沿铅直方向。,m,a,C,=,mg,F,T,J,C,=,F,T,l/,2,式中:,J,C,=,ml,2,/,12,a,A,n,+,a,A,=,a,C,+,a,n,AC,+,a,AC,因为:,初始时刻,a,A,n,=0,a,n,AC,=0,a,A,=,a,C,+,a,AC,a,C,=,a,AC,=,l,/,2,由此即可解出,F,T,=,mg/,4,。,在凸轮导板机构中，偏心轮的偏心距,OA,=,e,。偏心轮绕,O,轴以匀角速,转动。当导板在最低位置时弹簧的压缩为,b,。导板的质量为,m,。为使导板在运动过程中始终不离开偏心轮，试求弹簧刚度的最小值,。,A,D,O,C,e,A,D,O,C,e,解:,导板,CD,作平动。首先求导板的加速度及弹簧的变形。,y,=,R,+,e,cos,=,R,+,e,cos,t,h,y,y,R,导板质心的加速度,a,C,=d,2,y,/,d,t,2,=,e,2,cos,t,因,CD,不离开偏心轮，故有,A,D,O,C,e,h,y,y,R,在任意位置弹簧的变形,=,l,(,h,y,),=,e,(1,+,cos,t,),+,b,设弹簧的原长为,l,，当导板在最低位置(,y,=,R,e,)时弹簧的压缩为,b,，即,h,(,R,e,)=,l,b,h,l,=(,R,e,),b,y,=,R,+,e,cos,t,以导板,CD,为研究对象,受力如图示。虚加惯性力为,D,C,m,g,F,K,F,N,F,I,F,I,=,me,2,cos,t,内弹性力为,F,K,=k,e,(1,+,cos,t,),+,b,F,y,=0:,F,N,+,F,I,mg,F,K,=,0,导板在,最高位置,(cos,t,=1,)是它离开偏心轮的临界位置，此时,F,N,=0，由上式解得,k,=,m,(,e,2,g,),/,(,b+,2,e,),