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,第八讲,函数,模型及其应用,第二章,函数概念与基本初等函数,考点,帮,必备,知识通关,考点,1,指数、对数、幂函数模型的比较,考点,2,函数模型的应用,考法,帮,解题,能力提升,考法,1,利用函数图象刻画实际问题,考法,2,已知函数模型求解实际问题,考,法,3,构造函数模型求解实际问题,考情解读,考点内容,课标,要求,考题取样,情境,载体,对应,考法,预测,热度,核心,素养,函数模型及其应用,掌握,2020,山东,T6,生活实际,考法,3,数学抽象,数学建模,数学运算,命题分,析预测,该讲作为高考考查的内容之一,相关题目常以社会实际生活为背景,以解决最优问题的形式出现,如现实中的生产经营、企业盈利与亏损等热点问题中的增长、减少问题,主要考查二次函数、指数函数、对数函数模型的应用,.,考点帮,必备知识通关,考点,1,指数、对数、幂函数模型的比较,考点,2,函数模型的应用,考点,1,指数,、对数、幂函数模型的比较,1,.,几种常见的函数模型,一次函数模型,f,()=,k,+,(,k,为,常数,k,0,),.,二次函数模型,f,()=,2,+,c,(,c,为常数,0).,指数函数模型,f,()=,+,c,(,c,为,常数,0,0,1).,对数函数模型,f,()=,m,log,+,n,(,m,n,为,常数,m,0,0,1).,幂函数模型,f,()=,n,+(,n,为常数,0,n,1).,“,对勾,”,函数模型,考点,1,指数,、对数、幂函数模型的比较,规律总结,函数,y,=,+,(,0),的性质,(1),该函数在,(-,-,和,+),上单调递增,在,-,0),和,(0,上单调递减,.,(2),当,0,时,函数,在,=,处取得最小值,2,;,当,1),y=log,(,1),y,=,n,(,n,0,),在,(0,+),上的单调性,单调递增函数,.,单调递增函数,.,单调递增函数,.,增长速度,越来越快,.,越来越慢,.,随,n,值变化,而各,有不同,.,图象的变化,随,的,增大逐渐表现为与,y,轴平行,.,随,的,增大逐渐表现为,与,轴,平行,.,随,n,值变化而各有不同,.,联系,存在一,个,0,当,0,时,有,log,n,.,考点,2,函数,模型的应用,建立函数模型解应用问题的步骤,考点,2,函数,模型的应用,名师提醒,1,.,利用函数模型解应用问题时的易错点,:(1),不会将实际问题转化为函数模型或转化不全面,;(2),在求解过程中忽略实际问题对变量的限制条件,.,2,.,构建数学模型一定要过好如下三关,.,(1),事理关,:,通过阅读,明确问题讲的是什么,熟悉实际背景,为解题找出突破口,.,(2),文理关,:,将实际问题的文字语言转化为数学符号语言,用数学式子表达数量关系,.,(3),数理关,:,在构建数学模型的过程中,对已知数学知识进行检索,从而认定或构建相应的数学模型,.,考法帮,解题能力提升,考法,1,利用函数图象刻画实际问题,考法,2,已知函数模型求解实际问题,考法,3,构造函数模型求解实际问题,考,法,1,利用,函数图象刻画实际问题,示例,1,2020,北京,15,5,分,为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改,.,设企业的污水排放量,W,与时间,t,的关系为,W,=,f,(,t,),用,-,的大小评价在,这段时间内企业污水治理能力的强弱,.,已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图,2-8-1,所示,.,考,法,1,利用,函数图象刻画实际问题,给出下列四个结论,:,在,t,1,t,2,这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强,;,在,t,2,时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强,;,在,t,3,时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标,;,甲企业在,0,t,1,t,1,t,2,t,2,t,3,这三段时间中,在,0,t,1,的污水治理能力最强,.,其中所有正确结论的序号是,.,考,法,1,利用,函数图象刻画实际问题,解析,由,题图可知甲企业的污水排放量在,t,1,时刻高于乙企业,而在,t,2,时刻甲、乙两企业的污水排放量相同,故在,t,1,t,2,这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强,故,正确,;,甲企业污水排放量与时间的关系图象在,t,2,时刻切线的斜率的绝对值大于乙企业,故,正确,;,在,t,3,时刻,甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量,故都已达标,正确,;,甲企业在,0,t,1,t,1,t,2,t,2,t,3,这三段时间中,在,t,1,t,2,的污水治理能力最强,故,错误,.,方法技巧,根据,实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势进行求解,.,考,法,2,已知,函数模型求解实际问题,示例,2,候鸟,每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度,v,(,单位,:m/s),与其耗氧量,Q,之间的关系为,:,v,=,+,log,3,(,其中,是,实数,),.,据统计,该种鸟类在静止的时候耗氧量为,30,个单位,而耗氧量为,90,个单位时,其飞行速度为,1 m/s,.,(1),求,出,的,值,;,(2),若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于,2 m/s,则其耗氧量至少要多少个单位,?,考,法,2,已知,函数模型求解实际问题,思维导引,解析,(1),由题意可知,当这种鸟类静止时,它的速度为,0 m/s,此时耗氧量为,30,个单位,则,+,log,3,=0,即,+,=,0;,当耗氧量为,90,个单位时,速度为,1 m/s,则,+,log,3,=1,整理,得,+2,=,1,.,解方程组,得,考,法,2,已知,函数模型求解实际问题,(2),由,(1),知,v,=,+,log,3,=-1+log,3,.,要使飞行速度不低于,2 m/s,则,v,2,所以,-1+log,3,2,即,log,3,3,解得,27,即,Q,270,.,所以若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于,2 m/s,则其耗氧量至少要,270,个单位,.,考,法,2,已知,函数模型求解实际问题,方法技巧,利用,已给函数模型解决实际问题的关键点,1,.,认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数,.,2,.,根据已知利用待定系数法确定模型中的待定系数,.,3,.,利用函数模型,借助函数的性质求解实际问题,并进行检验,.,考,法,3,构造,函数模型求解实际问题,命题角度,1,构造一次函数、二次函数、分段函数模型,示例,3,某,自来水厂的蓄水池存有,400,吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水,60,吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t,小时内供水总量为,120,吨,(0,t,24),.,(1),从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少,?,最少存水量是多少吨,?,(2),若蓄水池中水量少于,80,吨时,就会出现供水紧张现象,则在一天的,24,小时内,有几小时出现供水紧张现象,.,考,法,3,构造,函数模型求解实际问题,思维导引,(1,),根据题意,先设,t,小时后,蓄水池中的存水量为,y,吨,写出蓄水池中的存水量的函数表达式,再利用换元法求此函数的最小值即可,;(2),根据题意列不等式求解,.,解析,(1,),设,t,小时后蓄水池中的存水量为,y,吨,则,y,=400+60,t,-120,令,=,则,2,=6,t,即,t,=,所以,y,=400+10,2,-120,=10(,-6),2,+40,考,法,3,构造,函数模型求解实际问题,所以,当,=,6,即,t,=6,时,y,取得最小值,y,min,=40,即从供水开始到第,6,小时时,蓄水池中的存水量最少,最少存水量是,40,吨,.,(,2),由,(1),及题意得,400+10,2,-120,80,即,2,-12,+320,解得,4,8,即,4,8,t,200,即,1,.,12,=3,.,8,所以该公司全年投入的研发资金开始超过,200,万元的年份是,2019,年,.,答案,B,考,法,3,构造,函数模型求解实际问题,方法技巧,三,种函数模型的应用技巧,(1),与幂函数、指数函数、对数函数模型有关的实际问题,在求解时,要先学会合理选择模型,在三类模型中,指数函数模型,(,底数大于,1),是增长速度越来越快的一类函数模型,与增长率、银行利率、细胞分裂有关的问题都属于指数函数模型,.,(2),在解决幂函数、指数函数、对数函数模型问题时,一般先需要通过待定系数法确定函数解析式,再借助函数的图象求解最值问题,必要时可借助导数,.,注意,求解,时注意指、对数的运算,以及实际问题中的条件限制,灵活进行指数式与对数式的互化,.,
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