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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,8.5,二次函数综合问题,中考数学,(山东专用),1,1.(2018德州临邑一模,25)如图1,关于,x,的二次函数,y,=-,x,2,+,bx,+,c,经过点,A,(-3,0),点,C,(0,3),点,D,为二,次函数的顶点,DE,为二次函数的对称轴,E,在,x,轴上.,(1)求抛物线的解析式;,(2),DE,上是否存在点,P,到,AD,的距离与到,x,轴的距离相等?若存在,求出点,P,;若不存在,请说明理,由;,(3)如图2,DE,左侧的抛物线上是否存在点,F,使2,S,FBC,=3,S,EBC,?若存在,求出点,F,的坐标;若不存在,请说明理由.,好题精练,2,解析,(1)二次函数,y,=-,x,2,+,bx,+,c,经过点,A,(-3,0),点,C,(0,3),解得,抛物线的解析式为,y,=-,x,2,-2,x,+3.,(2)存在.,当,P,在,DAB,的平分线上时,如图,作,PM,AD,交,AD,于,M,.,抛物线解析式为,y,=-,x,2,-2,x,+3,对称轴方程为,x,=-1,D,(-1,4).,根据勾股定理易得,AD,=,=2,.,3,设,P,(-1,m,),则,PM,=,PD,sin,ADE,=(4-,m,),=,(4-,m,),PE,=,m,PM,=,PE,(4-,m,)=,m,解得,m,=,-1,P,点的坐标为(-1,-1);,当,P,在,DAB,的外角平分线上时,如图,作,PN,AD,交,AD,于,N,.,设,P,(-1,n,),则,PN,=,PD,sin,ADE,=,(4-,n,),PE,=-,n,PN,=,PE,(4-,n,)=-,n,解得,n,=-,-1,4,P,点的坐标为(-1,-,-1).,综上,存在满足条件的,P,点,其坐标为(-1,-1)或(-1,-,-1).,(3)抛物线的解析式为,y,=-,x,2,-2,x,+3,B,(1,0),S,EBC,=,EB,OC,=3,2,S,FBC,=3,S,EBC,S,FBC,=,过,F,作,FQ,x,轴于点,H,交,BC,的延长线于,Q,过,F,作,FM,y,轴于点,M,如图,S,FBC,=,S,BQH,-,S,BFH,-,S,CFQ,=,HB,HQ,-,BH,HF,-,QF,FM,=,BH,(,HQ,-,HF,)-,QF,FM,=,BH,QF,-,QF,FM,=,QF,(,BH,-,FM,)=,FQ,OB,=,FQ,=,FQ,=9.易得,BC,的解析式为,y,=-3,x,+3,设,F,(,x,0,-,-2,x,0,+3),则,Q,(,x,0,-3,x,0,+3),-3,x,0,+,+2,x,0,=9,解得,x,0,=,或,(舍去),5,点,F,的坐标是,图,又,S,ABC,=6,点,F,不可能在,A,点下方.,综上,F,点的坐标为,.,6,2.,(2018新疆乌鲁木齐,24,12分)在平面直角坐标系,xOy,中,抛物线,y,=-,x,2,+,bx,+,c,经过点,A,(-2,0),B,(8,0).,(1)求抛物线的解析式;,(2)点,C,是抛物线与,y,轴的交点,连接,BC,设点,P,是抛物线上在第一象限内的点,PD,BC,垂足为点,D,.,是否存在点,P,使线段,PD,的长度最大?若存在,请求出点,P,的坐标;若不存在,请说明理由;,当,PDC,与,COA,相似时,求点,P,的坐标.,7,解析,(1)将,A,(-2,0),B,(8,0)代入,y,=-,x,2,+,bx,+,c,得,解得,抛物线的解析式为,y,=-,x,2,+,x,+4.,(3分),(2)由(1)知,C,(0,4),又,B,(8,0),易知直线,BC,的方程为,y,=-,x,+4.,如图a,过点,P,作,PG,x,轴于点,G,PG,交,CB,于点,E,易知,PED,=,OCB,在Rt,PDE,中,PD,=,PE,sin,PED,=,PE,sin,OCB,=,PE,当线段,PE,最长时,PD,的长度最大.,设,P,(0,t,8),则,E,即,PG,=-,t,2,+,t,+4,EG,=-,t,+4.,PE,=,PG,-,EG,=-,t,2,+2,t,=-,(,t,-4),2,+4,0,t,8.,8,当,t,=4时,PE,有最大值4,此时,P,点坐标为(4,6),当,P,点坐标为(4,6)时,PD,的长度最大,为,.,(7分),图a,由,A,(-2,0),B,(8,0),C,(0,4),易知,ACB,=90,Rt,COA,Rt,BOC,故当Rt,PDC,与Rt,COA,相似时,就有Rt,PDC,与Rt,BOC,相似,相似三角形的对应角相等,PCD,=,CBO,或,PCD,=,BCO,.,(i)当,PCD,=,CBO,(Rt,PDC,Rt,COB,)时,如图b,9,图b,有,CP,OB,C,(0,4),y,P,=4,由-,x,2,+,x,+4=4,解得,x,=6或,x,=0(舍).,即Rt,PDC,Rt,COB,时,P,(6,4);,(ii)当,PCD,=,BCO,(Rt,PDC,Rt,BOC,)时,如图c,过点,P,作,PG,x,轴于,G,与直线,BC,交于,F,PF,OC,PFC,=,BCO,10,PCD,=,PFC,PF,=,PC,.,设,P,依题意,易知,n,0,同(1),可知,PF,=-,n,2,+2,n,.,过点,P,作,y,轴的垂线,垂足为,N,图c,在Rt,PNC,中,11,PC,2,=,PN,2,+,NC,2,=,n,2,+,=,n,4,-,n,3,+,n,2,.,PF,=,PC,PF,2,=,PC,2,即,=,n,4,-,n,3,+,n,2,解得,n,=3或,n,=0(舍).,即Rt,PDC,Rt,BOC,时,P,.,当Rt,PDC,与Rt,COA,相似时,有,P,(6,4)或,P,.,(12分),思路分析,(1)由待定系数法列方程组求出,b,c,即可;(2)由待定系数法求出直线,BC,的方程,过,点,P,作,PG,x,轴于点,G,交,CB,于点,E,在Rt,PDE,中可得,PD,与,PE,的关系,当线段,PE,最长时,PD,的,长度最大,设出,P,点坐标,从而得出线段的长,由,PE,=,PG,-,EG,得二次函数,由二次函数的性质得最,值及此时自变量的值,从而得,P,点坐标;首先由,A,、,B,、,C,三点确定,ACB,=90,从而Rt,COA,Rt,BOC,再结合条件得出,PCD,=,CBO,或,PCD,=,BCO,然后以这两种情况分别根据相,似性质列方程求出,P,点坐标.,方法总结,这类二次函数与平面几何相结合的问题常用到二次函数的性质、待定系数法以,及三角形相似的判定与性质,在解题时也常从这些方面去考虑,寻找突破口,同时压轴题常考查,分类讨论思想,因而在解题时注意分类讨论.,12,3.,(2018德州,25,14分)如图1,在平面直角坐标系中,直线,y,=,x,-1与抛物线,y,=-,x,2,+,bx,+,c,交于,A,B,两点,其中,A,(,m,0),B,(4,n,),该抛物线与,y,轴交于点,C,与,x,轴交于另一点,D,.,(1)求,m,n,的值及该抛物线的解析式;,(2)如图2,若点,P,为线段,AD,上的一动点(不与,A,D,重合),分别以,AP,DP,为斜边,在直线,AD,的同侧,作等腰直角,APM,和等腰直角,DPN,连接,MN,试确定,MPN,面积最大时,P,点的坐标;,(3)如图3,连接,BD,CD,在线段,CD,上是否存在点,Q,使得以,A,D,Q,为顶点的三角形与,ABD,相似?,若存在,请直接写出点,Q,的坐标;若不存在,请说明理由.,13,解析,(1)把点,A,(,m,0)、点,B,(4,n,)代入,y,=,x,-1中,得,m,=1,n,=3,A,(1,0),B,(4,3).,y,=-,x,2,+,bx,+,c,过点,A,、点,B,解得,y,=-,x,2,+6,x,-5.,(2)如图2,APM,和,DPN,为等腰直角三角形,APM,=,DPN,=45,MPN,=90,MPN,为直角三角形.,令-,x,2,+6,x,-5=0,解得,x,1,=1,x,2,=5,D,(5,0),AD,=4.,设,AP,=,m,则,DP,=4-,m,PM,=,m,PN,=,(4-,m,),S,MPN,=,PM,PN,=,m,(4-,m,)=-,m,2,+,m,14,=-,(,m,-2),2,+1.,当,m,=2,即,AP,=2时,MPN,的面积最大,此时,OP,=3,P,(3,0).,(3)存在,点,Q,的坐标为(2,-3)或,.,思路分析,(1)将,A,(,m,0)、,B,(4,n,)代入,y,=,x,-1可得,m,n,的值,再将,A,B,的坐标分别代入,y,=-,x,2,+,bx,+,c,解,方程组求出,b,c,的值,即可得出抛物线的解析式.,(2)由,APM,和,DPN,是等腰直角三角形可推得,MPN,是直角三角形;令-,x,2,+6,x,-5=0得到点,D,的,坐标,设,AP,=,m,用含,m,的代数式表示Rt,MPN,的面积,运用二次函数的最值可求得,P,点的坐标.,15,
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