数学分析(第81节不定积分概念与基本积分公式)

返回,后页,前页,第8章 不定积分,不定积分概念与基本积分公式,换元积分法与分部积分法,有理函数和可化为有理函数的不定积分,第8.1节 不定积分概念与基本积分公式,原函数与不定积分,基本积分表,不定积分的性质,一、原函数与不定积分,1.问题的提出,已知质点的运动规律,s=s,(,t,),则速度,v,(,t,)=,s,(,t,);,反之若已知质点各时刻的运动速度,v=v,(,t,)如何求其运动规律,s=s,(,t,)?,从数学角度看：,找一函数,s=s,(,t,)，,使,s,(,t,)=,v,(,t,).,2.原函数,定义1,例如,（1）满足何种条件的函数必定存在原函数?如果存在原函数,它是否惟一?,（2）若已知某个函数的原函数存在,如何把它求出来?,要求出它们的原函数也不是,一件容易的事,.因此,如下问题要关注：,应该注意到：,尽管象,这种形式简单的函数,注,(i)连续函数一定有原函数；,(iii)函数的两个原函数间相差一个常数；,(ii)任一函数的原函数（若存在）有无穷多；,定理1,(原函数存在性定理),定理2,(原函数族的结构性定理),(ii),f,(,x,)在,I,上的任意两个原函数之间,只可能相差一个常数.,原函数的全体为：,函数族,积分变量,定义2,积分常数,被积表达式,积分号,积分变量,3.不定积分,被积函数,即,例1,求,解,解,例2,求,例3,求,解,例4,设曲线通过点(1,3),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.,解,设曲线方程为,根据题意知,由曲线通过点,(1,3),所求曲线方程为,代入上式,得,-,2,-,1,O,1,2,x,-,2,-,1,1,2,y,y,x,2,+2,y,x,2,(1,3),不定积分的几何意义,O,x,y,x,y,=,F,(,x,),4.积分运算与微分运算的关系,先积后微形式不变,先微后积差一常数,例如,二、基本积分表,将一些基本的积分公式列成一个表,基本积分表,.,(Basic Formula of Indefinite Integra),是常数);,证,等式成立.,（,此性质可推广到有限多个函数之和的情况,）,三、不定积分的性质,(Properties of the Definite Integral),定理3,（线性运算法则）,例5,求不定积分,解,例6,求积分,解,例7,求积分,解,例8,求积分,解,被积函数进行恒等变形，再使用基本积分公式.,例9,求积分,解,基本积分公式,不定积分的性质,原函数与不定积分的概念,求微分与求积分的互逆关系,小结,练习题,练习题答案,