变量分离方程与变量变换

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 一阶微分方程的初等解法,2.1 变量分离方程与变量变换,定义1,形如,的方程,称为,变量分离方程,.,2.1.1 变量分离方程的求解,例,分离变量,两边积分,原方程的解为,解,注:,例1,求微分方程,的所有解.,解,积分得,分离变量,故方程的所有解为,化简整理，得,解,分离变量后得,两边积分得,整理后得通解为,例2,求微分方程,的通解.,例3,求微分方程,解,将变量分离后得,两边积分得,由对数的定义有,即,故方程的通解为,例4,解,两边积分得,因而通解为,再求初值问题的通解,所以所求的特解为,我们已经知道变量分离方程总可用初等解法求解另外，,对有的微分方程，虽然表面上看不是变量分离方程，但若能通,过一次或几次变量变换化为变量分离的微分方程，则原方程也,可用初等解法求解下面介绍几种典型的可通过适当的变量变,换，化为变量分离的微分方程类型,2.1.2 可化为变量分离方程的类型,（,）齐次方程,（,）形如,方程称为,齐次方程,求解方法,（,）形如,例5,求解方程,解,方程变形为,这是齐次方程,分离变量，得,即,两边积分得,代入原来变量,得原方程的解为,即当 时,例6,求下面初值问题的解,解,方程变形为,这是齐次方程,将变量分离后得,两边积分得,整理后得,变量还原得,故初值问题的解为,分三种情况讨论,为齐次方程,由(I)可化为变量分离方程.,的方程可经过变量变换化为变量分离方程.,（,）形如,这就是变量分离方程,作变量代换(坐标变换),则方程化为,为(1,0,)的情形,可化为变量分离方程求解.,则,解的步骤:,例7,求微分方程,的通解.,解,解方程组,将变量分离后得,两边积分得,变量还原并整理后得原方程的通解为,注,:上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型.,此外,诸如,以及,例8,求下述微分方程的通解,解,代入方程并整理得,即,分离变量后得,两边积分得,变量还原得通解为,2.1.3 应用举例,例8、雪球的融化,设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例，且在融化过程中它始终为球体，该雪球在开始时的半径为6cm，经过2小时后，其半径缩小为3cm，求雪球的体积随时间变化的关系,解,根据球体的体积和表面积的关系得,分离变量并积分得方程的通解为,由初始条件得,代入得雪球的体积随时间的变化关系为,作业：,P42 1（4）（5）（6）,P43 2（1）（3）（6）（7）3,