矩阵、数组和符号运算

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.3,矩阵、数组和符号运算,一、矩阵和数组运算,要求内容：,（1）熟练掌握,矩阵的创建,。,（2）掌握,矩阵运算,和,数组运算,。,（3）学会如何使用,矩阵运算函数,和,数组运算函数,。,（4）注意区分矩阵和数组的差别，特别是运算符的差别。,（6）了解,多项式,的创建方法和基本运算。,MATLAB,以,矩阵,为基本的运算单元，,向量和标量,作为特殊的矩阵处理：,向量,看作只有一行或一列的矩阵；,标量,看作只有一个元素的矩阵。,1、,矩阵的构造,a.,直接输入,b.,利用,内部函数,产生矩阵,c.,利用,M,文件,产生矩阵,d.,从,外部数据文件,调入矩阵,2.3,矩阵、数组和符号运算,2.3,矩阵、数组和符号运算,a.,直接输入,直接输入需遵循以下,基本规则,：,整个矩阵应以“”为首尾，即整个输入矩阵必须包含在方括号中；,矩阵中，行与行之间必须用分号,“；”,或,Enter,键（按,Enter,键）符分隔；,每行中的元素用逗号,“，”,或,空格,分隔；,矩阵中的元素可以是,数字或表达式,，但表达式中不可包含未知的变量，,MATLAB,用表达式的值为该位置的矩阵元素赋值。当矩阵中没有任何元素时，该矩阵被称作“空阵”（,Empty Matrix）。,A=1,2,3,4;5,6,7,8;9,10,11,12;13,14,15,16,A=,1 2 3 4,5 6 7 8,9 10 11 12,13 14 15 16,利用表达式输入,B=1,sqrt(25),9,13,2,6,10,7*2,3+sin(pi),7,11,15,4,abs(-8),12,16,B=,1 5 9 13,2 6 10 14,3 7 11 15,4 8 12 16,2.3,矩阵、数组和符号运算,2.3,矩阵、数组和符号运算,由向量构成矩阵,向量是组成,矩阵的基本元素,之一。向量元素需要用方括号括起来。元素之间用,空格,和,逗号,分隔生成,行向量,，用,分号,隔开生成,列向量,。可以把,行向量,看成,1,n,阶矩阵，,把,列向量,看成,n,1,阶矩阵。,向量的构造方法：,直接输入向量,利用冒号生成向量,利用,linspace/logspace,生成向量,a=1,2,3,4;,x=0:0.5:2;,%x=,logspace(a,b,n,),生成有,n,个元素的行向量,x，,其元素起点,x(1)=10,a,，,终点,x(n)=10,b,。,b=logspace(0,2,4),b=,1.0000 4.6416 21.5443 100.0000,x,x=,0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000,%x=linspace(a,b,n),生成有,n,个元素的行向量,x，,其元素值在,a、b,之间线性分布。,y=linspace(0,2,7),y=,0 0.3333 0.6667 1.0000 1.3333 1.6667 2.0000,z=-1 x 3,z=,-1.0000 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 3.0000,u=y;z,u=,0 0.3333 0.6667 1.0000 1.3333 1.6667 2.0000,-1.0000 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 3.0000,2.3,矩阵、数组和符号运算,2.3,矩阵、数组和符号运算,b.,利用内部函数产生矩阵,%compan,生成,x,向量的伴随矩阵,x=2,4,6,8,10,x=,2 4 6 8 10,compan,(x),ans=,-2 -3 -4 -5 -6,1 0 0 0 0,0 1 0 0 0,0 0 1 0 0,0 0 0 1 0,%eye,生成,单位阵,S=,eye,(6),S=,1 0 0 0 0 0,0 1 0 0 0 0,0 0 1 0 0 0,0 0 0 1 0 0,0 0 0 0 1 0,0 0 0 0 0 1,%ones,生成,全部元素为 1,的矩阵,ones,(3,4)ans=,1 1 1 1,1 1 1 1,1 1 1 1,F=5*ones(3),F=,5 5 5,5 5 5,5 5 5,%zeros,生成,全部元素为0,的矩阵,Z=,zeros,(2,4),Z=,0 0 0 0,0 0 0 0,%rand,生成均匀分布的,随机矩阵,R=,rand,(4),R=,0.9501 0.8913 0.8214 0.9218,0.2311 0.7621 0.4447 0.7382,0.6068 0.4565 0.6154 0.1763,0.4860 0.0185 0.7919 0.4057,%生成空阵,K=,K=,2.3,矩阵、数组和符号运算,c.,利用,M,文件产生矩阵,A=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,2.3,矩阵、数组和符号运算,d.,从外部数据文件调入矩阵,用,load,命令输入,用,Import,菜单输入,2.3,矩阵、数组和符号运算,2、,矩阵元素的修改,A=1,2,3,4;5,6,7,8;9,10,11,12;13,14,15,16,A=,1 2 3 4,5 6 7 8,9 10 11 12,13 14 15 16,A(1,1),ans=,1,A(2,3),ans=,7,A(1,1)=0;A(2,2)=A(1,2)+A(2,1);A(4,4)=cos(0);,A,A=,0 2 3 4,5 7 7 8,9 10 11 12,13 14 15 1,2.3,矩阵、数组和符号运算,3、矩阵的运算,矩阵运算按照,线性代数中基本的运算法则,进行；,加减运算必须在具有相同行列的矩阵之间进行；,只有当,矩阵,A,的列数和矩阵,B,的行数相同时,，才可进行矩阵,A,和,B,的,乘法运算,；,乘方运算,只有在矩阵为,方阵,时才有意义；,当一个,矩阵,和一个,标量,（11 的矩阵）进行运算时，其结果将是此,标量和矩阵中的每一个元素,“相加”、“相减”、“相乘”、“相除”；,在,MATLAB,中，矩阵左除和右除的含义不同。,2.3,矩阵、数组和符号运算,a.,矩阵的加减运算,A=1,2,3,4;5,6,7,8;9,10,11,12;13,14,15,16,B=1,sqrt(25),9,13,2,6,10 7*2,3+sin(pi),7,11,15,4,abs(-8),12,16,C=A+B,C=,2 7 12 17,7 12 17 22,12 17 22 27,17 22 27 32,D=A-B,D=,0 -3 -6 -9,3 0 -3 -6,6 3 0 -3,9 6 3 0,E=A+3,E=,4 5 6 7,8 9 10 11,12 13 14 15,16 17 18 19,2.3,矩阵、数组和符号运算,b.,矩阵乘法,C=A*B,C=,30 70 110 150,70 174 278 382,110 278 446 614,150 382 614 846,D=A*3,D=,3 6 9 12,15 18 21 24,27 30 33 36,39 42 45 48,c.,矩阵除法,左除,AB=inv(A)*B,A=8,1,6;3,5,7;4,9,2,A=,8 1 6,3 5 7,4 9 2,B=1,1,1;1,2,3;1,3,6,B=,1 1 1,1 2 3,1 3 6,AB,ans=,0.0667 0.0500 0.0972,0.0667 0.3000 0.6389,0.0667 0.0500 -0.0694,C=inv(A),C=,0.1472 -0.1444 0.0639,-0.0611 0.0222 0.1056,-0.0194 0.1889 -0.1028,C*B,ans=,0.0667 0.0500 0.0972,0.0667 0.3000 0.6389,0.0667 0.0500 -0.0694,右除,A/B=A*inv(B),A/B,ans=,27 -31 12,1 2 0,-13 29 -12,D=inv(B),D=,3 -3 1,-3 5 -2,1 -2 1,A*D,ans=,27 -31 12,1 2 0,-13 29 -12,2.3,矩阵、数组和符号运算,当对矩阵作,除法运算,时，有可能因为误差设置的差别导致不精确的结果，此时，,MATLAB,会自动给出警告信息:,MATLAB,采用,IEEE（,国际认可的）算法，即使,A,为奇异阵,（即,A,的行列式值是0），运算也照样进行，但是此时,MATLAB,将给出警告信息：“,Warning:Matrix is singular to working precision.”，,求出的矩阵所有元素为无穷大（,Inf）；,当矩阵,A,为,病态阵,（,Badly Scaled）,时，,MATLAB,使用的算法产生的误差可能很大，,MATLAB,系统也将给出警告信息：“,Warning:Matrix is badly scaled to working precision.Results may be inaccurate.”。,E=1,2,3;4,5,6;7,8,9,E=,1 2 3,4 5 6,7 8 9,F=1,4,7;2,5,8;3,6,9,F=,1 4 7,2 5 8,3 6 9,EF,Warning:Matrix is close to singular or badly scaled.,Results may be inaccurate.RCOND=1.541976e-018.,ans=,-0.3333 -7.3333 -14.3333,0.6667 11.6667 22.6667,0 -4.0000 -8.0000,2.3,矩阵、数组和符号运算,4、,矩阵的函数,a.,矩阵的基本变换函数,A=3,3,5;2,4,6;7,8,9%,创建方阵,A,A=,3 3 5,2 4 6,7 8 9,inv(A)%,矩阵的逆（,A,必须为非奇异方阵）,ans=,0.5000 -0.5417 0.0833,-1.0000 0.3333 0.3333,0.5000 0.1250 -0.2500,A%,矩阵的转置,ans=,3 2 7,3 4 8,5 6 9,b.,常用的矩阵运算函数,只有方阵才可计算行列式值，即,det(A),的计算只有在,A,为方阵,时才有意义。,logm(A),和,sqrtm(A),计算矩阵的对数/平方根是指对,整个矩阵,A,求对数/平方根,。,2.3,矩阵、数组和符号运算,2.3,矩阵、数组和符号运算,det(A)%,求方阵,A,的行列式值,ans=,-24,eig(A)%,求特征值,ans=,16.7503,0.8793,-1.6295,logm(A)%,求矩阵,A,的对数,ans=,0.5432+0.8066i 0.7475+0.5526i 0.6902-0.6914i,0.8584+1.4131i 0.7845+0.9681i 0.6967-1.2112i,0.7502-1.5947i 1.1089-1.0926i 1.8504+1.3668i,sqrtm(A)%,求矩阵,A,的平方根,ans=,1.2466+0.3278i 0.5192+0.2246i 1.0906-0.2809i,0.2001+0.5742i 1.4228+0.3934i 1.3620-0.4921i,1.6144-0.6480i 1.7430-0.4439i 2.3610+0.5554i,c.,矩阵的分解函数,2.3,矩阵、数组和符号运算,2.3,矩阵、数组和符号运算,X=3,-1,2;1,2,-1;-2,1,4%,输入矩阵,X,X=,3 -1 2,1 2 -1,-2 1 4,L,U=lu(X)%,对矩阵,X,进行,LU,分解,L=,1.0000 0 0,0.3333