《材料力学》弯曲变形

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,弯曲变形,1,梁变形的基本概念 挠度和转角,2,挠曲线近似微分方程,3,积分法计算梁的变形,4,叠加法计算梁的变形,5,简单超静定梁,梁的挠度，横截面的转角。,度量梁变形的参数-,二、挠度：,横截面形心沿垂直于,轴线方向的位移,。,一、挠曲线：梁变形后的轴线。,性质：,连续,、光滑、弹性、,极其平坦的平面曲线。,三、转角：,横截面绕中性轴转过,的角度。,用“,”表示。,q,用“y,”,表示,。,q,1,梁变形的基本概念 挠度和转角,y,=,y,（,x,）,挠曲线方程。,挠度向上为正；向下为负。,=,(,x,),转角方程。,由变形前的横截面转到变形后，,逆,时针为正；,顺,时针为负。,四、挠度和转角的关系,挠度：,横截面形心沿垂直于,轴线方向的位移,。,转角：,横截面绕中性轴转过,的角度。,用“,”表示。,用“y,”,表示,。,q,q,一、曲率与弯矩的关系：,EI,M,=,r,1,二、曲率与挠曲线的关系（数学表达式),（2）,三、挠曲线与弯矩的关系,：,联立（1）、（2）两式得,（,1,）,2 挠曲线近似微分方程,M0,0,),(,x,y,挠曲线近似微分方程的近似性,忽略了“,Q,”以及 对变形的影响,使用条件：,弹性范围内工作的细长梁。,M0,0,),(,x,y,结论：挠曲线近似微分方程,x,y,x,y,3,积分法计算梁的变形,步骤,：（,EI,为常量）,1、根据荷载分段列出弯矩方程 M（x）。,2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分,3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。,右,左,C,C,q,q,=,连续条件：,右,左,C,C,y,y,=,边界条件：,F,（1）、固定支座处：挠度等于零、转角等于零。,（2）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。,（3）、在弯矩方程分段处：,一般情况下左、右的两个截面挠度相等、转角相等。,4、确定挠曲线方程和转角方程。,5、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。,例：,求图示悬臂梁自由端的挠度及转角(,EI,=,常数）。,解：,a)建立坐标系并写出弯矩方程,b)写出,微分方程并积分,c)应用位移边界条件,求积分常数,F,x,d),确定挠曲线、转角方程,e),自由端的,挠度及转角,x,=0,y,=0;,=0,y,L,F,C,解：,a),建立坐标系并写出弯矩方程,b),写出,微分方程并积分,例：,求,图示梁的跨中的挠度和转角,（EI=常数,）,左侧段（0 x,1,a）：,右侧段（ax,2,L）：,e),跨中点,挠度及两端端截面的转角,d),确定挠曲线和转角方程,c),应用位移边界条件和连续条件,求积分常数,x,=0,y,=0;,x,=,L,y,=0.,x,1,=,x,2,=a，,y,1,=,y,2,；,y,1,=,y,2,两端支座处的转角,讨论：1、此梁的最大挠度和最大转角。,左,侧,段：,右,侧,段：,最大挠度一定在左侧段,F,C,当 ab 时,当 ab 时,最大挠度发生在AC段,2、a=b,时此梁的最大挠度和最大转角。,F,C,q,L,A,B,x,C,解：,a),建立坐标系并写出弯矩方程,b)写出,微分方程并积分,c)应用位移边界条件,求积分常数,d),确定挠曲线和转角方程,e),最大挠度及最大转角,ql/2,ql/2,x,=0,y,=0;,x,=L,y,=0.,例：,求分布载荷简支,的最大挠度 和最大转角(EI=常数,）,梁上有分布载荷，集中力与集中力偶。,弯矩：,弯矩的叠加原理-,梁在几个载荷共同作用下的弯矩值，等于各载荷单独作用下的弯矩的代数和。,4,叠加法,计算梁的变形,1、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查；2、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。,一、,前提条件：,弹性、小变形。,二、,叠加原理：,各荷载同时作用下，梁任一截面的挠度或转角，等于各荷载分别单独作用下同一梁同一截面挠度或转角的代数和。,三、,叠加法的特征：,叠加法计算梁的变形,a,a,F,=,+,例,：,叠加法求A截面的转角和C截面 的挠度.,解,、a),载荷分解如图,b),由梁的简单载荷变形表，,查简单载荷引起的变形。,a,a,q,F,A,C,A,a,a,q,c),叠加,L/2,L/2,q,A,C,A,=,+,例,：求图示梁C截面的挠度。,解,：1、,载荷分解如图,2、查梁的简单载荷变形表,3、,叠加,L/2,A,C,A,q/2,L/2,(a),L/2,L/2,A,C,A,q/2,q/2,(b),=,+,A,B,L,a,C,q,qa,A,B,L,C,M=qa/2,（b）,例,：求图示梁B截面的挠度,（,EI,已知）。,解,：1)结构,分解如图,2)查梁的简单载荷变形表,3),叠加,B,C,q,（a）,逐段刚化法,一、梁的刚度条件,其中,称为许用转角；,y,称为许用挠度。,、,校核刚度：,、,设计截面尺寸；,（对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属地位。特殊构件例外）,二、刚度计算,、,确定外载荷。,5 梁的刚度计算,由梁在简单荷载作用下的变形表和前面的变形计算可看：,梁的挠度和转角除了与,梁的支座和荷载,有关外还取决于,下面三个因素,：,材料,梁的位移与材料的弹性模量,E 成反比,；,截面,梁的位移与截面的惯性矩,I 成反比,；,跨长,梁的位移与跨长,L 的 n 次幂成正比,。,（转角为,L,的 2 次幂，挠度为,L,的 3 次幂）,1、增大梁的抗弯刚度（EI）,2、调整跨长和改变结构,方法同提高梁的强度的措施相同,三、提高梁的刚度的措施,3、预加反弯度（预变形与受力时梁的变形方向相反，目的起到一定的抵消作用）,注意：,同类的,材料,，“E”,值相差不多,，“,u,”,相差较大,，,故换用同类材料只能提高强度，,不能提高刚度,。,不同类的材料,，“E”和“G”,都相差很多（钢E=200GPa,铜E=100GPa），故可选用不同类的材料以达到,提高刚度,的目的。但是，改换材料，其,原料费用也会随之发生很大的改变,！,C,=,6 简单超静定梁,C,C,由平衡方程可以解出全部未知数,静定问题,二个平衡方程，三个未知数。,平衡方程数 未知数。,超静定问题,平衡方程数=未知数。,去掉多余约束而成为,形式上的静定结构,基本静定基,。,1、用多余约束反力代替多余约束（取,静定基，,原则：便于计算）,2、在多余约束处根据变形协调条件列出变形的几何方程,3、把物理条件代入几何方程列出力的补充方程求出多余反力,计算梁的内力、应力、强度、变形、刚度。,C,=,L/2,A,C,A,q,L/2,B,R,c,分析,C,解超静定的步骤 (静力、几何、物理条件),解：1)研究对象，AB梁，,受力分析：,C,)物理条件,例 已知梁的EI，梁的长度，求各约束反力。,)变形协调方程,)选用,静定基，去支座,联立求解：,C,画出剪力图、弯矩图。,莫尔定理,为计算梁的弯曲变形的莫尔积分公式，亦称为莫尔定理。,计算出的值为正，变形的方向与单位力或单位力偶的方向相同，反之则的方向相反.,单位力（求挠度）或单位力偶（求转角）产生的弯矩,梁的弯矩,例题:,均布载荷作用下的悬臂梁，其,EI,为常数。试用莫尔定理计算梁端点,A,的挠度,y,A,。,解：,为了计算悬臂梁,A,点的挠度，需要在,A,点作用一,铅垂向下的单位集中力。,计算悬臂梁的弯矩.,和,利用莫尔定,理,计算结果为正值，表明,A,端挠度与所加单位力的方向相同，即向下。,图形互乘法,为M(x)图的面积，为M,0,(x)图中与M(x)图的形心对应的纵坐标值。M,0,(x)图为单位力（求挠度）或单位力偶（求转角）产生的弯矩图。,例：试用图乘法求,所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。,解：,顶点,顶点,二次抛物线,例题:均布载荷作用下的简支梁图示，其,EI,为常量。试求梁中点的挠度。,简支梁在均布截荷 作用下的,弯矩图为二次抛物线,解：,单位力作用下的图为两段直线,可求得中点,C,的挠度,q,C,A,B,R,A,R,B,C,B,1,A,已知:,q,，a,EI.,求:,C,解：1 作外伸梁在载荷,q,作用下的弯矩图.,2 作外伸梁在单位载荷作用下的弯矩图.,在截面,C,上作用一单位力偶,3 求,C,A,B,C,1,q,A,B,C,