数值计算中的误差

内江师范学院数学与信息科学学院,吴开腾,制作,数值计算中的误差,误差及其来源,误差限和有效数字,相对误差与有效数字的联系,算法的稳定性分析,主要内容,数值计算方法,，是指将所欲求解的数学模型（数学问题）简化成一系列算术运算和逻辑运算，以便在计算机上求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。,一、误差分析,1 数值计算方法,2 误差的含义及其理解,误差无处不在。一个合理的算法也可能得出错误的结果。,3 算法的数值稳定性,算法,选得不恰当，不仅影响到计算的速度和效率，还会由于计算机计算的近似性和误差的传播、积累直接影响到计算结果的精度，有时甚至直接影响到计算的成败。不合适的算法会导致计算误差达到不能容许的地步，而计算最终失败，这就是算法的数值稳定性问题。,二、误差的种类及其来源,模型误差,观测误差,截断误差,舍入误差(凑整误差),过失误差或疏忽误差,非过失误差,1、例子,问题：,计算算式 的近似值：,可用下列四个式子进行计算：,分别采用近似值：,和,错误的结果,因此，在研究算法的同时，还必须正确掌握误差的基本概念，以及误差在近似值运算中的传播规律，误差分析、估计的基本方法和算法的数值稳定性概念。否则，一个合理的算法也可能会得出一个错误的结果来。,解方程,来编制计算机程序，在字长为8，基底为10的计算机上进行运算，则由于计算机实际上采用的是规格化浮点数的运算，这时,01,的第二项中最后两位数“01”，由于受计算机字长的限制，在机器上表示不出来，于是有：,精确解,：,求根公式：,对吗？不对，那么需要把,算法,进行改进！这里利用根与系数的关系：,于是有：,三、绝对误差和相对误差,（一）、绝对误差和相对误差限,1、绝对误差,设某一个量的准确值（称之为真值）为 ，其近似值为 ，则,与 的差,称为近似值 的,绝对误差,，简称误差。当 时，称为,亏,近似值或,弱,近似值，反之则称为,盈,近似值或,强,近似值。,2、绝对误差限，或精度,此 称为近似值 的,绝对误差限,，或,精度,。,由于真值往往是未知或无法知道的，因此 的准确值（真值）也就是无法求出。但一般可估计出此绝对误差 的上限，也即可以求出一个正数 ，使,（二）、相对误差和相对误差限,1、为什么要讨论相对误差,2、相对误差,定义：绝对误差与真值之比,4、,绝对误差与相对误差的关系,：,3、,相对误差限,绝对误差与相对误差比较还有一个差别：量纲之差。,5、相对误差的其它定义,因为一个量的真值往往是不可能求出的，所以在求相对误差时，常用绝对误差与近似值的比来描述。于是有：,百分误差：,（三）、有效数字及其与误差的关系,1、有效数字,引子：末位的半个单位,有效数字的通俗理解,分析：当近似值 的误差限是其某一位上的半个单位时，就称其“准确”到这一位，且从该位起直到前面,第一位,非零数字为止的所有数字都称为,有效数字,。,例如 的五、六位有效数字分别为：,数字的规格化形式,一般说，设有一个数 ，其近似值 的规格化形式,式中：都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的一个数字，；,n,是正整数；,m,是整数。,有效数字,则称 为具有,n,位有效数字的有效数，或称为它精度到 。其中每一位数字 都,是的有效数字。,若 的误差限为,有效数尾部的零的作用,存疑数字：,具有,n,位有效数字的有效数与真值,x,精确到第,n,位的近似值在同一位可能相同或相差可能为,1,。,有效位数的长短受到计算机字长的限制。,几点注意,203（3），0.0203（3），,0.0203（3），0.020300（5）,准确值,，近似值,存凝数字,2、有效数字与误差的关系,由上式，可以从有效数字算出近似值得绝对误差限；有效数字的位数越多，其绝对误差限也就越小。,绝对误差限,相对误差限,参考：易大义，,计算方法,，浙江大学,绝对误差和相对误差的计算以及有效数字？,例1 当用 来表示 的近似值时，它的相对误差是多少？,解：具有五位有效数字，由(7)有,计算题,例2 要使积分 的近似值 的相对误差不超过0.1，问至少取几位有效数字？,解：可以知道，这样 ，,可得,n,=3，即 只要取三位有效数字 ，就能保证 的相对误差不大于0.1%。,四、误差的传播与估计,1、误差估计的一般公式,在实际的数值计算中，参与运算的数据往往都是些近似值，带有误差。这些数据误差在多次运算过程中会进行传播，使计算结果产生误差。而确定计算结果所能达到的精度，显然是十分重要的，但这往往也是件很困难的事。但做一些有用的估计还是可以做到的。这里介绍一种常用的误差估计的一般公式，它是利用函数的泰勒(Taylor）展开得到的。,以二元函数为例,绝对误差：,分别是 和 对 的绝对误差增长因子，它们分别表示绝对误差,经过传播后增大或缩小的倍数。,相对误差：,分别是 和 对 的绝对误差增长因子，它们分别表示绝对误差,经过传播后增大或缩小的倍数。,2、误差在算术运算中的传播,在具体应用时，应注意分析加、减、乘、除、乘方和开方等算术运算对数据误差的传播规律。,1、加、减运算,近似值之和的绝对误差等于各近似值的绝对误差的代数和。,即：,例如，当要求计算 ，结果精确到第五位数字时，至少取到（八位）,才能达到具有五位有效数字的要求。如果变换算式（五位）：,3、例题分析,问题：利用 计算代数式 的值，,并分析对计算结果的影响。,计算结果,分析算法对数值计算结果有重要的影响。,由于两个近似数相减，使计算结果的有效数字位数显著减少，以第二种算法尤为严重。而后两种算法中，则有效数字的损失较少。又由于近似值的,p,次乘方的相对误差是该近似值本身的相对误差的,p,倍，因此，在后两种算法中以最后一种为最佳。,目的：,分析：,应选用数值稳定的计算算法，避开不稳定的算式；,注意简化计算步骤，减少运算次数；,大数“淹没”小数的现象发生；,应避免两相近数相减（变换）；,绝对值太小的数不宜作为除数；,注意计算过程中误差的传播与积累。,五、防止误差传播的若干方法,介绍了误差理论的基本概念，误差在近似值运算中的传播规律以及估算方法，以及数值稳定性的概念；,误差的表示方法：绝对误差和相对误差；,误差产生的原因：过失误差和非过失误差；,计算机计算受计算机的字长的限制：因而有效数字的概念很重要；,常用的误差估计方法：泰勒展开方法；,防止误差传播的几个常用方法。,本章小结,作业：P11 1,2,7,8,9,12,13,