二元函数的极值

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第六节 二元函数的极值,一、二元函数的极值,二、二元函数的最大值与最小值,三、条件极值,一、二元函数的极值,点,为极大值点,为极大值,定义,：设函数,在点,定义，若该邻域内,的某个邻域内有,点,为极小值点,为极小值,（亦称点,为驻点）,定理,1,（极值的必要条件）,:,若函数,在点,有极值，且,在点,偏导数存在,则,该点的,偏导数必为零,定理,2,（极值存在的充分条件）,:,设点,是函数,的驻点，且函数在点,的某邻域内二阶,偏导数连续，令,则,(1),当,时,点,）,时,点,是极值点,且,（,i,）当,（或,）时,点,是极大值点；,(ii),当,（或,是极小值点,.,(,),当,(,),当,时,点,不是极值点,时,点,不是极值点,可能是极值点也可能,（,2,）解方程组,得驻点,及,例,1,求函数,的极值,解,:,（,1,）,求偏导数,结论,:,在,处,在,处,取得极大值,函数在,处,无极值,函数在,注意,:,对一般函数,可能的极值点包括驻点或至少一,个偏导数不存在的点,.,二、二元函数的最大值与最小值,类似一元函数,求多元函数在有界闭区域上的可能,最值点包括驻点和偏导数不存在的点和边界点,.,分别,求出各点处的函数值,比较其大小即可,.,例,2,在,坐标面上找一点,使它到三点,的距离平方和为最小,解,设,为,面上的任一点,则,到,三点距离的平方和为,求,的偏导数，有,解方程组,得驻点,由问题的实际意义知，到三点距离平方和最小的点,一定存在,又只有一个驻点,因此,即为所求点,三、条件极值,（,1,）条件极值,无条件极值,（,2,）条件极值不能转化为无条件极值（运用,拉格朗日乘数法）。,求函数,在约束条件,下的极值，,其步骤为：,(1),构造,辅助函数,称为拉格,朗日函数,其中参数,称为拉格朗日乘数；,(2),解联立方程组,得可能极值点,构造辅助函数,而体积为最大的长方体的体积,例,8,求表面积为,则长方体体积,解,设长方体长、宽、高分别为,约束条件为,即,为,解联立方程组,解得,因为,是唯一可能的极值点，所以由问题,的实际意义知,