空间及其直线方程

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第六节,一、空间直线的一般方程,空间直线及其方程,第,七,章,二、空间直线的点向式方程与参数方程,三、两直线的夹角,四、直线与平面的夹角,五、杂例,定义,空间直线可看成两平面的交线,空间直线的一般方程,一、空间直线的一般方程,方向向量的定义,：,如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的,方向向量,/,二、空间直线的点向式方程与参数方程,直线的点向式（对称式）方程,令,直线的一组,方向数,方向向量的余弦称为直线的,方向余弦,.,直线的参数方程,例,1,用点向式方程及参数方程表示直线,解,在直线上任取一点,取,解得,点坐标,因所求直线与两平面的法向量都垂直,取,对称式方程,参数方程,解题思路,:,先找直线上一点,;,再找直线的方向向量,.,定义,直线,直线,两直线的方向向量的夹角,.,（,锐角,）,两直线的夹角公式,三、两直线的夹角,两直线的位置关系：,/,直线,直线,例如,，,例,2,.,求以下两直线的夹角,解,:,直线,直线,二直线夹角,的余弦为,从而,的方向向量为,的方向向量为,定义,直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角,四、直线与平面的夹角,直线与平面的夹角公式,直线与平面的,位置关系,：,/,解,:,取已知平面的法向量,则直线的对称式方程为,直的直线方程,.,为所求直线的方向向量,.,垂,例,3,.,求过点,(1,2,4),且与平面,解,:,设所求直线的方向向量为,根据题意知,取,所求直线的方程,五、杂例,例,5,求直线,与平面,2,x,+,y,+,z,-6=0,解 所给直线的参数方程为,x=2+t,y=,3+,t,z=,4+2,t,代入平面方程中，得,2(2+,t,)+(3+,t,)+(4+2,t,)-6=0,.,解上列方程，得,t,=-1,.把求得的,t,值代入直线的,参数方程中，即得所求交点的坐标为,x,=1,y,=2,z,=2.,的交点,.,解,先作一过点,A,且与已知直线垂直的平面,再求已知直线与该平面的交点,N,令,代入平面方程得,交点,取所求直线的方向向量为,所求直线方程为,有时用平面束的方程解题比较方便。,设直线,L,由方程组,所确定，其中系数,A,1,、,B,1,、,C,1,与,A,2,、,B,2,、,C,2,不成比例,.,我们建立三元一次方程,：,其中,为任意常数,.,因为,A,1,、,B,1,、,C,1,与,A,2,、,B,2,、,C,2,不成比例，,所以对于任何一个,值，方程,(13)的系数：,不全为零，,若一点在直线,L,上，则点的坐标必满足方程,(a),因而,从而方程,(13)表示一个平面，,也满足方程,(b),，故方程,(b),表示通过直线,L,的平面，,值，方程,(b)表示通过直线,L,并且对于不同的,的不同的平面,.,反之，通过直线,L,的任何平面,(,除,(a)中第二个,平面外,),都包含在方程,(b),所表示的一族平面内,.通过定直线的,所有平面的全体称为平面束，而方程,(b),就作为通过,直线,L,的,平面束的方程,。,例,7,求直线,在平面,x+y+z,=0,上的投影,直线的方程,.,其中,为待定常数,.,解 过直线,的平面束的方程为,即,由此得,代入得与所给平面垂直的平面,(称为投影平面)的方程为,所以投影直线的方程为,即,这平面与平面,x,+,y,+,z,=0,垂直的条件是,即,1.空间直线方程,一般式,对称式,参数式,内容小结,直线,2.线与线的关系,直线,夹角公式,:,平面,:,L,L/,夹角公式：,3.面与线间的关系,直线,L,:,作业,P335 4，5，7，9,15,解：,相交,求此直线方程,.,的方向向量为,过,A,点及,面的法向量为,则所求直线的方向向量,方法,1 利用叉积.,所以,一直线过点,且垂直于直线,又和直线,备用题,设所求直线与,的交点为,待求直线的方向向量,方法,2 利用所求直线与,L,2,的交点,.,即,故所求直线方程为,则有,代入上式,得,由点法式得所求直线方程,而,