常微分方程45 常系数非齐线性方程组

,*,1,考虑常系数非齐次线性微分方程组,4.5,常系数非齐次线性微分方程组,其对应的齐次线性微分方程组为,维列向量,这里,是,实常数矩阵,是,函数,.,解的结构,:,非齐次方程组的通解为对应齐次方程组通解,与非齐次方程组的一个特解之和,.,2,一、常数变易法,方程组的基解矩阵,:,因此常系数非齐次方程组,的通解为,这里,c,为任意常数列向量,.,方程组满足初始条件,的解为,3,例,利用常数变易法求解初值问题,特征根,解,:,首先,我们求矩阵,的矩阵指数,特征方程,对,有特征向量,对应,的齐次方程组的一个解,4,对,有特征向量,5,齐次方程组的解矩阵,又因为,故,是齐次方程组的,基解矩阵,且,因此,6,原方程的特解为,7,二、线性变换法,对一些特殊的方程组,如方程组 的系数矩阵,有,个不同的特征向量,则系数,矩阵,可化为对角矩阵,其中,是,的特征根,.,作线性变换,其中,把方程组 化为,8,注意到这是,个相互独立的方程,这里,故可以直接求出它的解,再利用变换,即可求得原方程的解,.,9,解,:,系数矩阵,的,特征方程,为,例,4.5.2,求方程组,的通解,.,因此矩阵,有,特征根,10,对,有特征向量,对,有特征向量,因此,矩阵及其逆矩阵,分别为,设,则原方程化为,11,那么原方程组的通解为,12,三、待定系数法,同,n,阶常系数非齐次线性方程一样,某些常系数,非齐次线性方程组也可以用待定系数法求其特解,如方程组组 中,为,多项式与指数函数的乘积,时,就可以用待定系数法来求其通解,.,13,解,:,系数矩阵,的特征方程为,例,4.5.3,求方程组,的一个特解,.,因此矩阵,有特征根,因为,不是特征根,，设特解形式为,14,把,代入方程组,得,解得,从而得原方程的特解为,15,例,4.5.4,求方程组,的特解,.,解,:,系数矩阵,的特征方程为,有特征根,故可设特解形式为,16,可得代数方程组,代入方程组,比较,t,的同次幂的系数,解方程得,选取,得原方程组的特解,17,关于常系数非齐次线性微分方程组的解法,介绍了三种方法,其中,常数变易法,具有一般性,而,线性变换法,和,待定系数法,都具有某种局限性,.,前面我们还介绍了,消元法,和,首次积分法,这些方法,仍然是有效的,举例比较各种方法的优劣,.,18,例,求方程组,解,(,常数变易法,):,系数矩阵,的特征方程的特征根为,的通解,.,相应的特征向量分别为,对应的齐次方程组的基解矩阵,及其逆矩阵,19,非齐次方程组通解,20,解法,2(,待定系数法,):,由解法,1,知,对应的,齐次方程组的通解,利用待定系数法求方程组的一个,特解,.,方程组中的,可表示为,21,则方程组可改写为,因为,不是,系数矩阵,的,特征根,所以特解形式设为,这里,待定,.,把,代入原方程组 得,即有,比较上式左右两边,得同次幂的系数得,22,求解得,因此方程组的特解为,故原方程的通解为,23,解法,3(,线性变换法,):,系数矩阵的特征方程的特征根为,相应的特征向量分别为,由特征向量构成的矩阵,及其逆矩阵,分别为,设,则把原方程化为,24,即,解上面的方程得,那么原方程组的通解为,25,解法,4(,消元法,):,由第一个方程得,把方程组改写为,将其代入第二个方程得,解方程得其通解为,代入关于 的表达式得,所以原方程组通解,26,作业,:P241,1(2),，,2(1),，,3(1),