计算三重积分详细方法

*,热烈欢迎各位朋友使用该课件！,广州大学数学与信息科学学院,1,工科高等数学,广州大学袁文俊、邓小成、尚亚东,2,第五节 利用柱面坐标和球面坐标,计算三重积分,一、利用柱面坐标计算三重积分,二、利用球面坐标计算三重积分,三、小结,3,一、利用柱面坐标计算三重积分,规定：,简单地说，柱面坐标就是,xoy,面上的极坐标+,z,坐标,4,柱面坐标与直角坐标的,关系为,如图，三坐标面分别为,圆柱面；,半平面；,平 面,5,如图，柱面坐标系中的,体积元素为,于是，,再根据,中,z,，,r,，,的关系，化为三次积分。,一般，先对,z,积分，再对,r,，最后对,积分。,6,例1,利用柱面坐标计算三重积分,其中,解,(1)画,图,(2)确定,z,，,r,，,的上下限,将,向,xoy,面投影，得,或,过(,r,),D,做平行于,z,轴,的直线，得,7,即,过(,r,),D,做平行于,z,轴,的直线，得,于是，,8,9,解,求交线：,将,向,xoy,面投影，得,或,10,即,过(,r,),D,做平行于,z,轴,的直线，得,或,11,例3,计算三重积分,其中,是由曲,解,将,向,xoy,面投影，得,或,过(,r,),D,做平行于,z,轴,的直线，得,12,即,或,过(,r,),D,做平行于,z,轴,的直线，得,13,即,14,二、利用球面坐标计算三重积分,规定：,15,如图，三坐标面分别为,圆锥面；,球 面；,半平面,球面坐标与直角坐标的关系为,16,球面坐标系中的体积元素为,如图，,再根据再,中,r,，,，,的关系，化为三次积分。,一般，先对,r,积分，再对,，最后对,积分。,17,例4,用球面坐标计算,其中,解,画,图。,确定,r,，,，,的上下限。,(1)将,向,xoy,面投影，得,(2)任取一,过,z,轴作半平面，得,(3)在半平面上，任取一,过原点作,射线，得,18,(3)在半平面上，任取一,过原点作,射线，得,即,19,20,例5,计算,其中,由曲面,和,围成。,将,向,xoy,面投影，得,任取一,过,z,在半平面上，任取一,过原点作射线，得,解,轴作半平面，得,21,即,在半平面上，任取一,过原点作射线，得,22,解,由三重积分的性质，有,23,解,由三重积分的性质，有,24,柱面坐标的体积元素,球面坐标的体积元素,柱面坐标,球面坐标,三、小结,25,广州大学,袁文俊、邓小成、尚亚东,Thank You!,26,