函数在某一个点处连续的定义

,单击此处编辑母版文本样式,*,*,*,一、函数在某一个点处连续的定义,设函数f在某 内有定义，若,则称f在点x,0,连续。,由于函数连续是指这个极限存在并且等于f(x,0,)，而极限具有局部唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性、迫敛性等，那同样的这个极限也有这些性质,定理4.2（,局部有界性,）若函数f在点x,0,连续，则 f在某 内有界,定理4.3 若函数f在点x,0,连续，且f(x,0,)0(或0)，则对任何的正数rf(x,0,)(或rr (或f(x)f(b)）,则至少存在一点,使得,从而,同时当 异号，则必有一个正、一个负，因此 0必在这个值域区间中，从而必至少有一个自变量 ，使得,推论（,根的存在定理,）若函数f在闭区间a,b上连续，且f(a)与f(b)异号，则至少存在一个点x,0,a,b,使得f(x,0,)=0,即方程f(x)=0在(a,b)内至少有一个根。,10,f(a)与 f(b)异号至少一个点的函数值为0,一般地，I是一个区间，但未必是一个闭区间，函数y=f(x)在I上连续，任意取 ，因为函数在I上连续，从而在闭区域c,d上连续，因此，由闭区间上的介值定理有 ，这说,明任意的两个不同的函数值所组成这个区间都包含在这个函数的值域中,，所以值域是一个区间，即,I是区间，且f在I上连续，则函数的值域也是一个区间。,11,闭区间上连续的函数，有最大值M,最小值m,从而区间为m,M必包含在f(I)中，又函数值最大就是M，最小是m，所以值域最大也就能为m,M,因此f(I)=m,M,若函数在这个区间是增函数，则最大值为f(b),最小值为f(a),因此值域为f(a),f(b)，若是减函数，则值域为 f(b),f(a),闭区间上连续函数的几点性质，,最大最小值定理,，,有界性定理，,根的存在定理,12,例 3 证明：若 r0,n 为正整数，则存在唯一正数x,0,，使得,（称为r的n次正根(即算术根)，记作 ）,证明：,存在性:,要证明存在一个数x,0,，使得 ，利用介值定理来证明，首先就必须构造一个闭区间上连续的函数，根据所要证明的式子，我们构造函数,由于 0,n,=0,所以存在正数a，使得,考虑函数 则这个函数在这个闭区间上连续,且 f(0)rf(a),由介值定理，存在 ，使得,再证唯一性 设还有另一个整数x,1,，使得x,n,1,=r，则有,从而 x,0,=x,1,13,例 4 设f在a,b上连续，满足,证明：存在 ，使得,分析，要找一个 使得 ，即,考虑用根的存在定理，作函数,F(x)=f(x)-x,，则F(x)在a,b上连续，并且由,所以 F(a)=f(a)-a0 F(b)=f(b)-b0,上面的两个不等式，若其中至少有一个成立，则命题成立。若两个不等式的等号都不成立，则这时两端的函数值异号，由根的存在定理得到，存在 ，使得,14,连续函数的复合是连续函数，,连续函数若存在反函数时，反函数是否连续？,定理4.8 若函数f在a,b上严格单调并连续，则反函数f,-1,在其定义域,f(a),f(b),或,f(b),f(a),上连续,证明：不妨设f在a,b上严格增，由于f是单调函数，所以f有反函数f,-1,，并且由闭区间上连续函数性质得到，f的值域为,f(a),f(b),，从而 f,-1,的定义域为,f(a),f(b),任取 对端点一样证明,往下证明在该点处连续，即：,即任给的 找 当 时有,15,设 即,在x,0,的左右两侧分别取 x,1,x,2,且使得,设,根据函数是单调递增，所以,取,则当 时，有,所以,所以反函数f,-1,连续,16,例5 由于y=sinx在区间 上严格单调且连续，故其反函数y=arcsinx在区间-1,1上连续,同样 y=arccosx在-1,1上连续 y=arctanx 在上连续,例6 y=x,n,(n为整数)在0,+)上严格单调且连续，故其反函,数 在0,+)连续，,而 可以看做 的复合，而这两个函数都是连续函数，所以这个函数也连续,所以得到 （q为非零整数）是其定义域区间上的连续函数,17,例 证明：有理幂函数 在其定义区间上连续,证明：是有理数，所以 可以表示为 ，这里 p,q都,是整数，所以 可以看做由 与,，而这两个函数都是连续函数，所以这个函数是连续函数。,18,练习 6-10,作业 9,19,练习 P9 1-8,作业 P9 7,20,练习 P9 1-8,作业 P9 7,21,练习 P9 1-8,作业 P9 7,22,练习 P9 1-8,作业 P9 7,23,练习 P9 1-8,作业 P9 7,24,练习 P9 1-8,作业 P9 7,25,练习 P9 1-8,作业 P9 7,26,练习 P9 1-8,作业 P9 7,27,练习 P9 1-8,作业 P9 7,28,练习 P9 1-8,作业 P9 7,29,练习 P9 1-8,作业 P9 7,30,练习 P9 1-8,作业 P9 7,31,练习 P9 1-8,作业 P9 7,32,练习 P9 1-8,作业 P9 7,33,练习 P9 1-8,作业 P9 7,34,练习 P9 1-8,作业 P9 7,35,练习 P9 1-8,作业 P9 7,36,练习 P9 1-8,作业 P9 7,37,练习 P9 1-8,作业 P9 7,38,练习 P27 1 2,39,P27,练习 2-8,作业 2（1）（2）,40,