数系的扩充与复数的引入要点梳理复数的有关概念

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,13.6 数系的扩充与复数的引入,要点梳理,1.复数的有关概念,(1)复数的概念,形如,a,+,b,i(,a,b,R,)的数叫做复数，其中,a,b,分,别是它的,和,.若,，则,a,+,b,i为实数,若,，则,a,+,b,i为虚数,若,，则,a,+,b,i,为纯虚数.,(2)复数相等:,a,+,b,i=,c,+,d,i,(,a,b,c,d,R,).,实部,虚部,b,=0,b,0,a,=0且,b,0,a,=,c,且,b,=,d,基础知识 自主学习,(3)共轭复数:,a,+,b,i与,c,+,d,i共轭,(,a,b,c,d,R,).,(4)复平面,建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面.,叫做实轴，,叫做虚轴.实轴上的点都表示,；除原点外，虚轴上的点都表示,；,各象限内的点都表示,.,(5)复数的模,向量 的模,r,叫做复数,z,=,a,+,b,i的模，记作,或,，即|,z,|=|,a,+,b,i|=,.,a,=,c,b,=-,d,x,轴,y,轴,实数,纯虚数,非纯虚数,|,z,|,|,a,+,b,i|,2.复数的几何意义,(1)复数,z,=,a,+,b,i 复平面内的点,Z,(,a,b,),(,a,b,R,).,(2)复数,z,=,a,+,b,i,(,a,b,R,).,3.复数的运算,(1)复数的加、减、乘、除运算法则,设,z,1,=,a,+,b,i,z,2,=,c,+,d,i(,a,b,c,d,R,),则,加法:,z,1,+,z,2,=(,a,+,b,i)+(,c,+,d,i)=,;,减法:,z,1,-,z,2,=(,a,+,b,i)-(,c,+,d,i)=,;,乘法:,z,1,z,2,=(,a,+,b,i)(,c,+,d,i)=,;,(,a,+,c,)+(,b,+,d,)i,(,a,-,c,)+(,b,-,d,)i,(,ac,-,bd,)+(,ad,+,bc,)i,除法:,=,.(,c,+,d,i0),(2)复数加法的运算定律,复数的加法满足交换律、结合律，即对任何,z,1,、,z,2,、,z,3,C,有,z,1,+,z,2,=,(,z,1,+,z,2,)+,z,3,=,.,z,2,+,z,1,z,1,+(,z,2,+,z,3,),基础自测,1.,(2009北京理，1),在复平面内,复数,z,=i(1+2i),对应的点位于(),A.第一象限 B.第二象限,C.第三象限 D.第四象限,解析,z,=i(1+2i）=-2+i,复数,z,在复平面内,对应的点为,Z,（-2，1），该点位于第二象限.,B,2.下列命题正确的是(),(-i),2,=-1;i,3,=-i;若,a,b,则,a,+i,b,+i;,若,z,C,，则,z,2,0.,A.B.C.D.,解析,虚数不能比较大小，故错误；,若,z,=i,则,z,2,=-10,故错误.,A,3.,（2008浙江理，1）,已知,a,是实数，是纯虚,数，则,a,等于(),A.1 B.-1 C.D.-,解析,因为该复数为纯虚数，所以,a,=1.,A,4.,（2009山东理，2）,复数 等于(),A.1+2i B.1-2i,C.2+i D.2-i,解析,C,5.设 为复数,z,的共轭复数，若复数,z,同时满足,z,-=2i，=i,z,，则,z,=,.,解析,=i,z,代入,z,-=2i,，得,z,-i,z,=2i,-1+i,题型一 复数的概念及复数的几何意义,已知复数,试求实数,a,分别取什么值时，,z,分别为：,（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.,根据复数,z,为实数、虚数及纯虚数的,概念,利用它们的充要条件可分别求出相应的,a,值.,解,题型分类 深度剖析,（2）当,z,为虚数时，,a,-1且,a,6且,a,1.,a,1且,a,6.,当,a,(-,-1)(-1,1)(1,6)(6,+)时，,z,为虚数.,（3）当,z,为纯虚数时，有,不存在实数,a,使,z,为纯虚数.,(1)本题考查复数集中各数集的分类，,题中给出的复数采用的是标准的代数形式，否则,应先化为代数形式，再依据概念求解.,(2)若复数的对应点在某些曲线上，还可写成代数,形式的一般表达式.如：对应点在直线,x,=1上，则,z,=1+,b,i（,b,R,）;对应点在直线,y,=,x,上，则,z,=,a,+,a,i,(,a,R,)，在利用复数的代数形式解题时经常用到,这一点.,知能迁移1,已知,m,R,，复数,-3)i,当,m,为何值时,(1),z,R,；(2),z,是纯虚数；,(3),z,对应的点位于复平面第二象限；(4),z,对应的,点在直线,x,+,y,+3=0上.,解,(1)当,z,为实数时,则有,m,2,+2,m,-3=0且,m,-10,解得,m,=-3,故当,m,=-3时，,z,R,.,（2）当,z,为纯虚数时,则有,解得,m,=0或,m,=2.,当,m,=0或,m,=2时，,z,为纯虚数.,（3）当,z,对应的点位于复平面第二象限时,解得,m,-3或1,m,2，故当,m,-3或1,m,2时，,z,对应,的点位于复平面的第二象限.,（4）当,z,对应的点在直线,x,+,y,+3=0上时,当,m,=0或,m,=-1 时，,z对应的点,在直线,x,+,y,+3=0上.,题型二 复数相等,已知集合,M,=(,a,+3)+(,b,2,-1)i，8，集合,N,=3i,(,a,2,-1)+(,b,+2)i同时满足,M,N,M,，,M,N,，求整数,a,、,b,.,解,依题意得（,a,+3）+（,b,2,-1）i=3i ,或8=(,a,2,-1)+(,b,+2)i ,或,a,+3+(,b,2,-1)i=,a,2,-1+(,b,+2)i ,由得,a,=-3,b,=2,经检验，,a,=-3,b,=-2不合题意，舍去.,判断两集合元素的关系,列方程组,分别解方程组,检验结果是否符合条件,a,=-3，,b,=2.,由得,a,=3,b,=-2.,又,a,=-3,b,=-2不合题意.,a,=3,b,=-2.,由得,此方程组无整数解.,综合、得,a,=-3,b,=2或,a,=3,b,=-2.,两复数相等的充要条件是：实部与实部,相等，虚部与虚部相等.构建方程，解方程组体现,了方程的思想.本题中，复数与集合的知识相结合,体现了题目的灵活性.,知能迁移2,已知复数,z,的共轭复数是 ，且满足,z,+2i,z,=9+2i.求,z,.,解,设,z,=,a,+,b,i(,a,b,R,)，则 =,a,-,b,i,z,+2i,z,=9+2i，,（,a,+,b,i）（,a,-,b,i）+2i（,a,+,b,i）=9+2i,即,a,2,+,b,2,-2,b,+2,a,i=9+2i,由得,a,=1,代入得,b,2,-2,b,-8=0,解得,b,=-2,或,b,=4.,z,=1-2i,或,z,=1+4i.,题型三 复数的代数运算,计算,(1),利用复数的运算法则及特殊复数的运,算性质求解.,解,（3）,方法一,方法二,（技巧解法）,复数代数形式的运算是复数部分的重,点，其基本思路就是应用运算法则进行计算.复数,的加减运算类似于实数中的多项式的加减运算,（合并同类项），复数的乘除运算是复数运算的,难点，在乘法运算中要注意i的幂的性质，区分,(,a,+,b,i),2,=,a,2,+2,ab,i-,b,2,与(,a,+,b,),2,=,a,2,+2,ab,+,b,2,;在除法运,算中，关键是“分母实数化”（分子、分母同乘以,分母的共轭复数），此时要注意区分(,a,+,b,i）(,a,-,b,i)=,a,2,+,b,2,与(,a,+,b,)(,a,-,b,)=,a,2,-,b,2,防止实数中的相关,公式与复数运算混淆，造成计算失误.,知能迁移3,计算：,解,题型四 复数的几何意义,(12分)如图所示,平行四边形,OABC,，顶点,O,，,A,，,C,分别表示0，,3+2i,-2+4i，试求：,(1)所表示的复数；,(2)对角线 所表示的复数;,(3)求,B,点对应的复数.,结合图形和已知点对应的复数，根据,加减法的几何意义，即可求解.,解,4分,8分,12分,根据复平面内的点、向量及向量对应,的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数,只要找出所求向量的始点和终点,或者用向量相等,直接给出结论.,知能迁移4,设复数,z,的共轭复数为 ，且4,z,+2,=3 +i,=sin,-icos,复数,z,-,对应复,平面内的向量为 求,z,的值和 的取值范围.,解,设,z,=,a,+,b,i(,a,b,R,)，则 =,a,-,b,i,由4,z,+2 =3 +i得,4(,a,+,b,i)+2(,a,-,b,i)=3 +i，,即6,a,+2,b,i=3 +i,根据复数相等的充要条件有,思想方法 感悟提高,方法与技巧,1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除,及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.,2.在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的,三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往,和加法、减法相结合.,3.要记住一些常用的结果，如i、的有关,性质等可简化运算步骤提高运算速度.,失误与防范,1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，,还需考虑它的实部是否有意义.,2.对于复系数（系数不全为实数）的一元二次方,程的求解，判别式不再成立.因此解此类方程,的解，一般都是将实根代入方程，用复数相等,的条件进行求解.,3.两个虚数不能比较大小.,4.利用复数相等,a,+,b,i=,c,+,d,i列方程时，注意,a,b,c,d,R,的前提条件.,5.,z,2,0在复数范围内有可能成立，例如:当,z,=3i时,z,2,=-90.,一、选择题,1.,（2009陕西理，2）,已知,z,是纯虚数，是实数，那么,z,等于(),A.2i B.i C.-i D.-2i,解析,设,z,=,b,i(,b,R,b,0),D,定时检测,2.复数 （i是虚数单位）的实部是(),A.B.C.D.,解析,A,3.已知i为虚数单位，则复数 对应的点位,于(),A.第一象限 B.第二象限,C.第三象限 D.第四象限,解析,C,4.,（2009辽宁理，2）,已知复数,z,=1-2i,那么,(),A.B.,C.D.,解析,D,5.在复平面内,若,z,=,m,2,(1+i)-,m,(4+i)-6i所对应的点,在第二象限,则实数,m,的取值范围是 (),A.（0，3）B.（-，-2）,C.（-2，0）D.（3，4）,解析,整理得,z,=（,m,2,-4,m,）+(,m,2,-,m,-6)i，对应,点在第二象限，则,D,6.已知,a,是实数，是纯虚数，则,a,等于 (),A.1 B.-1 C.D.-,解析,A,二、填空题,7.已知,z,1,=2+i,z,2,=1-3i,则复数 的虚部为,.,解析,-1,8.已知复数,z,1,=-1+2i,z,2,=1-i，,z,3,=3-2i，它们所对应的,点分别为,A,，,B,，,C,.若 则,x,+,y,的值,是,.,解析,得（3-2i）=,x,(-1+2i),+,y,(1-i)=(-,x,+,y,)+(2,x,-,y,)i，,5,9.,（,2009,福建理，,11,）,若,(i,为虚,数单位，,a,b,R,),，则,a,+,b,=,.,解析,1+i=,a,+,b,i,a,=1,b,=1,a,+,b,=2.,2,三、解答题,10.,计算：,=i+,（,-i,）,1 602,=i+i,2,=i-1=-1+i.,解,11.,已知,x,y,为共轭复数，且（,x,+,y,）,2,-3,xy,i=4-6i,，,求,x,y,.,解,设,x,=,a,+,b,i(,a,b,R,),，则,y,=,a,-,b,i,x,+,y,=2,a,xy,=,a,2,+,b,2,代入原式，得,(2,a,),2,-3(,a,2,+,b,2,)i=4-6i,12.已知,z,是复数，,z,+2i、均为实数（i为虚数单,位），