不定积分的定义和性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一节 不定积分的定义和性质,例,定义：,一、原函数与不定积分的概念,原函数存在定理：,简言之：,连续函数一定有原函数,.,问题：,(1)原函数是否唯一？,例,（为任意常数）,(2)若不唯一它们之间有什么联系？,关于原函数的说明：,（1）若 ，则对于任意常数 ，,（2）若 和 都是 的原函数，,则,（为任意常数）,证,（为任意常数）,任意常数,积分号,被积函数,不定积分的定义：,被积表达式,积分变量,例1,求,解,解,例2,求,例3,设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.,解,设曲线方程为,根据题意知,由曲线通过点（1，2）,所求曲线方程为,显然，求不定积分得到一积分曲线族.,由不定积分的定义，可知,结论：,微分运算与求不定积分的运算是,互逆,的.,实例,启示,能否根据求导公式得出积分公式？,结论,既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.,二、基本积分表,基本积分表,是常数);,说明：,例4,求积分,解,根据积分公式（2）,证,等式成立.,（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）,三、不定积分的性质,例5,求积分,解,例6,求积分,解,例7,求积分,解,例8,求积分,解,说明：,以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.,解,所求曲线方程为,基本积分表(1),不定积分的性质,原函数的概念：,不定积分的概念：,求微分与求积分的互逆关系,四、小结,思考题,符号函数,在 内是否存在原函数？为什么？,思考题解答,不存在.,假设有原函数,故假设错误,所以 在 内不存在原函数.,结论,每一个含有,第一类间断点,的函数都没有原函数.,练习题,练习题答案,