32圆的对称性(1)0

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,九年级数学,(,下,),第三章圆,3.2,圆的对称性,(1),-,垂径定理,想一想,1.,圆是轴对称图形吗？,你是用什么方法解决这个问题的,?,圆是轴对称图形,.,其对称轴是任意一条过圆心的直线,.,如果是,它的对称轴是什么,?,用,折叠的,方法,即可解决这个问题,.,你能找到多少条对称轴,?,O,圆上,任意两点间的部分叫做,圆弧,简称,弧,.,连接圆上任意两点间的线段叫做,弦,(,如弦,AB).,O,经过圆心的,弦,叫做,直径,(,如直径,AC).,AB,以,A,B,两点为端点的,弧,.,记作,读作“弧,AB”.,AB,小于半圆的,弧,叫做劣弧,如记作,(,用两个字母,).,ADB,大于半圆的,弧,叫做优弧,如记作,(,用三个字母,).,A,B,C,D,相关概念,如图,CD,是,直径,AB,弦,CDAB,垂足为,M,。,你能发现图中有哪些等量关系？,请你说说它们相等的理由。,O,C,D,A,B,M,AM=BM，AC=BC，AD=BD,探求不断,连接,OA,OB,O,A,B,C,D,M,则OA=OB.,AM=BM.,点,A,和点,B,关于,CD,对称,.,O,关于直径,CD,对称,当圆沿着直径,CD,对折时,点,A,与点,B,重合,AC,和,BC,重合,AD,和,BD,重合,.,AC=BC,AD=BD.,CDAB于M,证明：,已知：,CD,是,O,的直径，,AB,是,O,的弦，,且,CDAB,于,M,，,求证：,AM=BM,，,AC=BC,AD=BD,垂径定理,定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧,.,O,A,B,C,D,M,CDAB,CD,是直径,AM=BM,AC=BC,AD =BD.,条件,一条直径,垂直于弦,直径平分弦,平分弦所对的劣弧,结论,平分弦所对的优弧,下列图形是否具备垂径定理的条件？,火眼金睛,O,E,D,C,A,B,如图，已知在,O,中，弦,AB,的长为,8,厘米，圆心,O,到,AB,的距离为,3,厘米，求,O,的半径。,E,.,A,B,O,解：连结,OA,。过,O,作,OEAB,，,垂足为,E,则,AE,BE,AB,8,4,厘米,在,RtAOE,中，,OE=3,厘米，根据勾股定理,OA,O,的半径为,5,厘米。,厘米,若,E,为弦,AB,上一动点，则,OE,取值范围是,_,。,练一练,如图，一条公路的转弯处是一段圆弧,(,即图中 ，点,o,是 的圆 心,),，其中,CD=600m,E,为 上一点，且,OECD,，,垂足为,F,，,EF=90m,求这段弯路的半径。,C,D,E,F,O,练一练,CD,CD,CD,A、AC=AD B、BC=BD,C、AM=OM D、CM=DM,1.,在,O,中，若,CD AB,于,M,，,AB,为直径，则下列结论不正确的是（）,练一练,2.,已知,O,的直径,AB=10,，弦,CD AB,，,垂足为,M,，,OM=3,，则,CD=,.,3.,在,O,中，,CD AB,于,M,，,AB,为直径，若,CD=10,，,AM=1,，则,O,的,半径是,.,O,C,D,A,B,M,C,8,13,CDAB,垂径定理的逆定理,AB,是,O,的一条弦,且,AM=BM.,你能,发现图中有哪些等量关系,?,与同伴说说你的想法和理由,.,做一做,过点,M,作直径,CD.,O,下图是轴对称图形吗,?,如果是,其对称轴是什么,?,小明发现图中有,:,C,D,由 ,CD,是,直径,AM=BM,可推得,AC=BC,AD=BD.,M,A,B,CDAB,垂径定理的,逆定理,O,C,D,CD,是,直径,AM=BM,可推得,AC=BC,AD=BD.,A,B,平分,弦（不是直径）的,直径,垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧,.,被平分的这条,弦,不是直径,M,判断：,垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧,.,（）,平分弦的直径一定垂直于这条弦,.,（）,(3),弦的垂直平分线一定经过圆心,.,（）,练一练,课堂小结：,1.,请说出本节所学习的主要内容。,2.,还有什么疑惑请提出来,已知如图，在以,O,为圆心的两个同心圆中，大圆的弦,AB,交小圆于,C,、,D,两点。,求证：,AC=BD,o,o,A,B,C,D,E,证明：过,O,作,OEAB,于,E,，,解后指出,：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作出“垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上，往往只需从圆心作弦的垂线段。,练一练,则,AE=BE,CE=DE,AE,CE=BE,DE,即,AC=BD,O,A,B,C,D,如果圆的两条弦平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么,?,E,F,M,N,挑战自我 做一做,挑战自我,画一画,如图,M,为,O,内的,一点,利用尺规作一条弦,AB,使,AB,过点,M.,并且,AM=BM.,O,M,如图，,CD,为圆,O,的直径，弦,AB,交,CD,于,E,，,CEB=30,，,DE=6,，,CE=2,，,求弦,AB,的,长。,F,E,D,O,C,A,B,挑战自我 做一做,反思小结,：,布置作业：,1,、对垂径定理的理解,(1),证明定理的方法是典型的“叠合法”,(2),定理是解决有关弦的问题的重要方法,(3),定理中反映的弦的中点，弦所对的两条弧的中点都集中在“垂直于弦的直径”上。圆、弦又关于直径所在的直线对称。,2,、关于垂径定理的运用,(1),辅助线的常用作法,(2),注意把问题化为解直角三角形的问题,3,、思考题,已知：在以,O,点为圆心的两个同心圆中。大圆的弦,CD,交小圆于,E,、,F,，,OE,、,OF,的延长线交大圆于,AB,。,求证：,。,O,C,A,E,B,D,F,A,C,=BD.,1,3,、思考题,已知：在以,O,点为圆心的两个同心圆中。大圆的弦,AB,交小圆于,C,、,D.,求证：,AC,DB,。,O,A,C,B,D,E,如图,圆,O,与矩形,ABCD,交于,E,、,F,、,G,、,H,EF=10,HG=6,AH=4.,求,BE,的长,.,A,B,C,D,0,E,F,G,H,M,N,垂径定理的应用,在直径为,650mm,的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示,.,若油面宽,AB=600mm,，,求油的最大深度,.,E,D,600,垂径定理的应用,在直径为,650mm,的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示,.,若油面宽,AB=600mm,，,求油的最大深度,.,B,A,O,600,650,D,C,赵州石拱桥,1.1300,多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥,(,如图,),的桥拱是圆弧形,它的跨度,(,弧所对是弦的长,),为,37.4m,拱高,(,弧的中点到弦的距离,也叫弓形高,),为,7.2m,求桥拱的半径,(,精确到,0.1m).,赵州石拱桥,解：如图，用 表示桥拱，所在圆的圆心为,O,，,半径为,Rm,，,经过圆心,O,作弦,AB,的垂线,OD,，,D,为垂足，与 相交于点,C.,根,据垂径定理，,D,是,AB,的中点，,C,是 的中点，,CD,就是拱高,.,由题设,在,RtOAD,中，由勾股定理，得,解得,R27.9,（,m,）,.,答：赵州石拱桥的桥拱半径约为,27.9m.,R,D,37.4,7.2,练习,:,在圆,O,中，直径,CEAB,于,D,，,OD=4,，弦,AC=,，,求圆,O,的半径。,r,4,r-4,.,A,O,B,E,C,D,F,思考题,已知：,AB,是,O,直径，,CD,是弦，,AECD,，,BFCD,求证：,EC,DF,圆是轴对称图形,.,圆的对称轴是,任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴,.,O,例,：如图，已知圆,O,的直径,AB,与,弦,CD,相交于,G,，,AECD,于,E,，,BFCD,于,F,，,且圆,O,的半径为,10,，,CD=16,，求,AE-BF,的长。,船能过,拱桥吗,2.,如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为,7.2,米,拱顶高出水面,2.4,米,.,现有一艘宽,3,米、船舱顶部为长方形并高出水面,2,米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？,船能过拱桥吗,解,:,如图,用 表示桥拱,所在圆的圆心为,O,半径为,Rm,经过圆心,O,作弦,AB,的垂线,OD,D,为垂足,与 相交于点,C.,根,据垂径定理,D,是,AB,的中点,C,是 的中点,CD,就是拱高,.,由题设得,在,RtOAD,中，由勾股定理，得,解得,R3.9,（,m,）,.,在,RtONH,中，由勾股定理，得,此货船能顺利通过这座拱桥,.,练习、已知：如图，,O,中，,AB,为 弦，,C,为,AB,的中点，,OC,交,AB,于,D,，,AB=6cm,，,CD=1cm.,求,O,的半径,OA.,