函数的单调性及极值课件

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、,函数单调性的判定,二、,函数的极值及其求法,第2节,函数的单调性及极值,三、,函数的最值及其求法,下一页,上一页,返回,单调性是函数的重要性态之一，在第,1,章中我们已经给出了函数单调性的定义，可以看出，用定义判定函数的单调性是比较困难的，这里我们将利用导数来判定函数的单调性,一、,函数单调性的判定,下一页,上一页,返回,设函数,f,(,x,),在闭区间,a,b,上连续，在开区间,(,a,b,),内可导.,(1),若在,(,a,b,),内,f,(,x,) 0，,则,函数,y,=,f,(,x,),在,a,b,上,单调减少,.,(,2,),若在,(,a,b,),内,f,(,x,) 0，,则函数,y,=,f,(,x,),在,a,b,上,单调增加,.,定理1(函数单调性的充分条件),下一页,上一页,返回,证明,在,a,b,上,任取两点,x,1,x,2,，,不妨设,x,1, 0,，,x,(,a,b,),则,f,(,x,) 0,于是可得,a,b,上单调增加.,(,2,),若,f,(,x,) 0,，,x,(,a,b,),则,f,(,x,) 0,于是可得,a,b,上单调减少.,下一页,上一页,返回,几何意义：,若曲线,y=f,(,x,),在某区间内的切线与,x,轴正向夹角是锐角，则曲线在该区间内上升；若这个夹角是钝角，则曲线在该区间内下降,说明：,（,1,）,闭区间,a, b,若为开区间、半开区间或无穷区间，结论同样成立,（2）定理1表明，可以根据导数的正负判定可导函数的单调性如果函数的导数仅在个别点处为零，而在其余点处均满足定理1的条件，那么定理1的结论仍然成立,下一页,上一页,返回,确定函数,f,(,x,),单调性的一般步骤：,（1）,确定函数,f,(,x,),的定义域；,（2）,求出一阶导数,f,(,x,)，,确定使,f,(,x,),=,0,及,f,(,x,),不存在的点；,（3）,用（2）所得的点将定义域划分为若干子区间，列表确定,f,(,x,),在各个子区间内的符号，进而判定函数,f,(,x,),的单调区间,下一页,上一页,返回,例,1,解,(,1,),该函数,的定义区间为,(, ,),(,2,),f,(,x,) =,x,2,-,3,x,-,4,=,(,x,+,1)(,x,-,4),，,令,f,(,x,) = 0,，,得,x,1,=,-,1,，,x,2,=,4,的单调区间,(3),列表讨论如下(表中记号表示单调增加，记号表示单调减少）：,x,(, ,-,1,),(-,1,4,),(,4, ,),f,(,x,),-,f,(,x,),下一页,上一页,返回,所以,(-, -1),和,(4, +),是,f,(,x,),的递增区间, (-1, 4),是,f,(,x,),的递减区间,.,此例说明,，,导数为零的点可能是单调区间的分界点另外，导数不存在的点也可能是单调区间的分界点,例如,，函数,y=,x,在点,x=,0,处连续，但它在,x=,0,处不可导在区间,(,-, 0,),内,，,y,0，,函数单调增加，所以点,x=,0,是函数单调区间的分界点,下一页,上一页,返回,例2,证明,下一页,上一页,返回,极值是函数的一种局部性态，能为我们准确描绘函数图形提供更详细的信息，同时在求函数的最大值和最小值问题时发挥重要作用下面介绍函数极值的定义，讨论函数极值的求法,二、,函数的极值及其求法,下一页,上一页,返回,定义,设函数,y,=,f,(,x,),在点,x,0,及其左右近旁有定义,，,若对于,x,0,的左右近旁异于,x,0,的,x,恒有,(,1,),f,(,x,0,) ,f,(,x,)，,则称,f,(,x,0,),为函数,f,(,x,),的,极大值,，,x,0,称为,f,(,x,),的,极大值点,；,(,2,),f,(,x,0,) ,f,(,x,)，,则称,f,(,x,0,),为函数,f,(,x,),的,极小值,，,x,0,称为,f,(,x,),的,极小值点,；,函数的极大值,、,极小值统称为函数的,极值,，,极大值点,、,极小值点统称为,极值点,.,下一页,上一页,返回,如图所示，,x,1,，,x,4,为,f,(,x,),的极大值点，,x,2,，,x,5,为,f,(,x,),的极小值点,.,y,=,f,(,x,),y,x,O,x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,函数的极值概念是局部性的.说,f,(,x,0,),是极大值或极小值，只是与,x,0,附近点,x,的函数值,f,(,x,),相比较,因此，就整个定义区间而言，,一个函数可能有若干个极大值或极小值，而且有的极大值可能比有的极小值还小,下一页,上一页,返回,定理2 (极值的必要条件),设函数,f,(,x,),在,x,0,处可导,，,且,f,(,x,0,),为极值，则必有,f,(,x,0,) = 0,.,即,f,(,x,0,x,),-,f,(,x,0,) 0，,x,0 .,证明,(1)设,f,(,x,0,),是极大值，则必有,由定理条件知,f,(,x,0,),存在，故有,下一页,上一页,返回,几何意义：,可导函数的图形在极值点处的切线与,x,轴平行,.,驻点,：,使得导数,f,(,x,0,),=,0,的点,x,0,.,定理2说明，,可导函数的极值点必是驻点,.,反之，,函数的驻点不一定是极值点,另外，,一阶不可导点也可能是极值点,.,下一页,上一页,返回,例如,，,x=,0,是函数,f,(,x,),=x,3,的驻点而不是它的极值点；函数,f,(,x,),=,x,在,x=,0,处不可导，但,f,(0),=,0,是它的极小值,.,驻点和一阶不可导点统称为函数的,极值嫌疑点,.,那么极值嫌疑点是不是极值点，如果是极值点，它是极大值点还是极小值点，如何判断？为了解决这些问题有下面的定理：,下一页,上一页,返回,定理,3,(,极值的第一充分条件,),设函数,f,(,x,),在点,x,0,的左右近旁可导,(,在点,x,0,处可以不可导,，,但必须连续,),，,若当,x,在,x,0,的左右近旁由小于,x,0,连续地变为大于,x,0,时,，,f,(,x,0,),改变符号,，,则函数,f,(,x,),在点,x,0,取得极值,，,且,(,1,),若导数,f,(,x,),由正变负,，,则,f,(,x,0,),为,函数,f,(,x,),的,极小值，,x,0,为极小值点,.,(,2,),若导数,f,(,x,),由负变正,，,则,f,(,x,0,),为函数,f,(,x,),的极大值,，,x,0,为极大值点.,.,(3)若,f,(,x,),不变号，则,f,(,x,0,),不是函数,f,(,x,),的极值，,x,0,不是极值点,.,下一页,上一页,返回,运用定理,3,求函数,f,(,x,),的极值点和极值的,一般步骤是：,(,1,),确定函数的定义域.,(,2,),求出一阶导数,f,(,x,)，,确定,f,(,x,),的极值嫌疑点,.,(4)求出各极值点处的函数值，得到函数,f,(,x,),的,全部极值.,(,3)用,极值嫌疑点划分定义域，列表讨论,f,(,x,),的,符号变化，确定极值点,.,下一页,上一页,返回,例3,求函数,f,(,x,),= (,x,-,1),3,的极值,.,解,(1),f,(,x,),的定义域为,(-, +,).,（3）,列表讨论如下：,下一页,上一页,返回,x,(-, 0,),f,(,x,),0,+,不存在,-,0,+,f,(,x,),极大值,0,3,下一页,上一页,返回,例4,求函数,f,(,x,),= (,x,2,- 1),3,- 1,的极值,.,解,(1),f,(,x,),的定义域为,(,-,+,).,(2),f,(,x,) =3,(,x,2,-,1),2,2,x=,6,x,(,x,+1,),2,(,x,-,1),2,令,f,(,x,) =,0 ,得驻点,x,1,=-1,x,2,=,0,x,3,=1,.,（3）,列表讨论如下：,下一页,上一页,返回,(,1,+,),x,(-, 1,),f,(,x,),-1,1,-,0,-,0,+,0,+,f,(,x,),无极值,无极值,0,所以，函数在点,x=,0,取得极小值,f,(0)=-2,，函数没有极大值,下一页,上一页,返回,定理,4,(,极值的第二充分条件,),(,1,),若,f,(,x,0,),0,，则,f,(,x,0,),为函数,f,(,x,),的极小值，,x,0,为极小值点,.,(证明从略),若,f,(,x,0,) = 0，,且,f,(,x,0,),0，,则函数,f,(,x,),在点,x,0,取得,极值,，,且,设函数,f,(,x,),在点,x,0,的二阶导数存在,，,若,下一页,上一页,返回,运用定理,4,求函数,f,(,x,),的,极值点和极值的一般步骤是：,(1)确定定义域,.,(3)考察函数的二阶导数在驻点处的符号，确,定极值点.,(4)求出极值点处的函数值，取得函数,f,(,x,),的,全部极值,.,(2)求出一阶导数,f,(,x,)，,确定,f,(,x,),的所有驻点,.,下一页,上一页,返回,例5,求函数,f,(,x,),=,x,4,10,x,2,+,5,的极值.,解,(,1,),f,(,x,),的定义域为,(,-,+,).,(2),f,(,x,) = 4,x,3,20,x =,4,x,(,x,2,-,5),，,令,f,(,x,) =,0 ,得驻点,(,3)因为,f,(,x,) = 12,x,2,20,，,于是有,所以,函数,f,(,x,),在点,x=,0,取得极大值,f,(0),=,5,下一页,上一页,返回,在实际问题中常会遇到求函数的最大值与最小值问题下面我们在函数极值的基础上讨论,如何求函数的最大值与最小值,三、,函数的最大值和最小值,下一页,上一页,返回,分析,：,若函数,f,(,x,),在闭区间,a,b,上,连续，那么它在,a,b,上一定有最大值和最小值显然，在所设条件下，,f,(,x,),在闭区间,a,b,的最值只可能在极值点和区间的端点处达到,又因为极值点只能在极值嫌疑点中去找，所以只,要求出全部极值嫌疑点和两个端点处的函数值，然后加以比较，最大的就是最大值，最小的就是最小值,1.函数在闭区间上的最大值和最小值,下一页,上一页,返回,例6,求函数,f,(,x,) =,x,3,-3,x,2,-9,x,+ 5,在,-2,6,上的最大值和最小值.,解,f,(,x,),=,3,x,2,-,6,x,9,=,3(,x+,1)(,x,-3),令,f,(,x,) = 0，,得驻点,x,1,= -1,x,2,= 3.,计算,f,(,x,),在所有驻点及端点处的函数值：,f,(-1)=10 ,f,(3)=-22 ,f,(-2)=3 ,f,(6)=59,比较这些值的大小，可知，,在,-2,6,上，函数,f,(,x,),的最大值为,f,(6)=59,最小值为,f,(3)=-22,.,下一页,上一页,返回,例7,解,函数,f,(,x,),在闭区间,-1,1,上连续，且有,下一页,上一页,返回,在,实际问题,中，若分析得知函数,f,(,x,),确实存在最大值或最小值，而所讨论的区间内仅有一个极值嫌疑点,x,0,，,则,f,(,x,0,),就是所要求的最大值或最小值,2.实际问题中的最大值和最小值,下一页,上一页,返回,例8,要建造一个容积为,V,(正常数)的圆柱形密闭容器，问应怎样选择圆柱形容器的半径,R,和高,h,，才能使所用的原材料最省？,（,如图所示）,解,由题意可知，要求适当选择,R,和高,h,，,使圆柱形密闭容器的表面积,S,最小而其容积,V,是一常数因为,R,h,下一页,上一页,返回,下一页,上一页,返回,例9,如图,所示的电路中，已知电源电压为,E,，,内阻为,r,，,求负载电阻,R,为多大时，输出功率最大,解,由电学知道，消耗在负载电阻,R,上的功率为,P,=,I,2,R,，,其中,I,为回路中的电流根据欧姆定律，有,I,R,r,E,下一页,上一页,返回,现在来求,R,在,(0,+),内取何值时，输出功率,P,最大：,所以,R,=,r,.,由于在区间,(0, +),内函数,P,只有一个极值嫌疑点,R,=,r,，,所以当,R,=,r,时，输出功率最大,下一页,上一页,返回,