资源描述
,1.,经典自由电子论（特鲁德 洛伦兹金属电子论）,假设金属中存在自由电子，与理想气体分子一样，它们服从,麦克斯韦,玻尔兹曼统计分布,规律。,A,）在 平衡条件下,:,平均速度为零。,B),有外电场存在时,:,电子沿电场力方向得到加速度,a,从而产生定向运动，,J,。同时电子通过碰撞与组成晶格的离子实交换能量，而失去定向运动，从而在一定电场强度下，有一平均漂移速度。,对电子进行统计计算,得到金属的直流电导、金属电子的弛豫时间、平均自由程和热容。,金属电子理论的三个发展阶段：,第七章 金属电子论,成功：,经典理论成功地说明了欧姆定律，导出热导与电导之间 相互联系的,维德曼一夫兰兹定律,困难：,电子热容,：实验值为理论值的百分之一。从经典理论来讲，这说明电子根本没有所声称的热运动，矛盾！,电子自由程,：经典理论在电导，热导，温差电等方面也取得了很大的成就，但是长期不能解释电子具有很长的“自由程”问题，,实验值（对于金属晶体，几乎无穷大，或几百个原子间距）,远大于,理论值,。,第七章 金属电子论,困难：,金属、半金属、半导体、绝缘体等导电性区别的本质。,不能解释正的霍耳系数。,电子自由程问题。,为什么金属费米面往往不是完美的球面。,等等。,引入,量子力学,和,费米统计,，解决热容等问题：金属中的电子应遵从量子的费米统计规律，而根据费米统计，只有在费米面附近的很少一部分电子对比热容有贡献。,2.,量子自由电子论,成功之处：,金属、绝缘体、半导体的区别；促进了半导体产业的发展。,细致的输运过程，电场、磁场中的输运等。,正霍耳系数。,费米面的复杂形状和材料性质的关系。,等等。,在,量子力学,和,费米统计,的基础上，系统研究电子在,晶体周期势场,中的运动。,3.,能带理论,经典统计,：,Boltzmann,统计,：,量子统计,：,Fermi,Dirac,统计,和,Bose,Einstein,统计,玻色子,：自旋为,整数,n,的粒子（如：光子、声子等），玻色子遵从,Bose,Einstein,统计规律,，玻色子,不遵从,Pauli,原理,。,费米子,：自旋为,半整数,（,n,1/2,）的粒子（如：电子、质子、中子 等），费米子遵从,Fermi,Dirac,统计规律,，费米子的填充,满足,Pauli,原理,。,量子统计基础知识,一般金属问题只涉及“,自由电子,”,一、费米分布函数,电子气体,服从,泡利不相容原理,和,费米,狄拉克统计,热平衡下时，能量为,E,的本征态被电子占据的几率。,费米分布函数,7.1,费米统计和电子热容量,电子的总数,i,，对所有的本征态求和,：,费米能量,或,化学势,(,可由统计理论推出）,体积不变,时，系统,增加一个电子,所需的,自由能,注意：本征态、能态、量子态、微观状态,费米分布函数,(1)T,0,时，电子的分布函数为,f,(E)=,1 E,E,F,0,0 E,E,F,0,E,E,F,0,0,1,f,(E),T,0,费米分布函数,(2)T 0 K,时，电子的分布函数为,f,(E)=,1/2,E=,E,F,考虑,k,空间的费米面,的费米面内所有状态均被电子占有。,费米能量降低，一部分电子被激发到费米面外附近。,注意,费米面的含义,在,0 K,和其它温度的不同：,(1),0 K,所对应的,k,空间,被电子占据的概率为,0,和为,1,的,分界面,。,(2),其它温度,时，对应于,k,空间,被电子占据的概率为,1/2,的,等能面，即：,E=E,F,f=1/2.,定义,Fermi,温度,：,金属：,T,F,：,10,4,10,5,K,物理意义,：设想将,E,F,0,转换成热振动能,，相当于,多高温度,下的振动能。,对于金属而言，由于,T T,F,总是成立的，因此，只有费米面附近的一小部分电子可以被激发到高能态，而离费米面较远的电子则仍保持原来（,T,0,）的状态，我们称这部分电子被“,冷冻,”下来。因此，虽然金属中有大量的自由电子，但是，,决定金属许多性质,的并不是其全部的自由电子，而只是在,费米面附近的那一小部分,。,费米分布函数的另外一个优势：,从统计的角度来说：引入能态密度,N(E),以后更能够容易统计平均电子数目：,dN=f,(E)N(E),dE,1.0K,时费米能级的确定,与,自由电子密度,有关。,二、,E,F,的确定,2.T,0 K,时费米能级的确定,引入,Q(E),函数,来表征,能量,E,以下,的,量子态总数,：,分步积分,特点：,(1),关于,E-E,F,的,偶函数,；,(2),只在,E-E,F,附近有显著的值，具有,函数,的特点。,将,Q(E),在,E,F,附近作,泰勒级数展开,保留到二次项：,由于（,-,f,/E,）具有类似,d,函数特征，改变积分下限并不会改变积分值,第一项,第二项 是 的,偶函数,引入积分变数,将 按泰勒级数在 附近展开，只保留到第二项,令,将 按泰勒级数展开，只保留,因为,对于近自由电子,温度升高，费米能级下降,根据电子的能量分布得电子总能量：,引入：,表示,E,以下的量子态被电子填满时的总能量。,应用分部积分,三、电子热容量,利用和计算费米能类似得方法计算金属中电子总能量。应用费米能的结果,因为,T,0K,时电子总能量,热激发电子的数目,每个电子获得的能量,总的激发能,电子热容量,例：近自由电子模型下电子热容量,能态密度函数,从 得到,热容量,的能态密度,近自由电子模型下电子热容量,金属中大多数电子的能量远远低于费米能量，由于受 到泡利原理的限制不能参与热激发。,只有在,E,F,附近约,k,B,T,范围内电子参与热激发,，对金属的 热容量有贡献。,研究金属热容量的意义,(1),许多金属的基本性质取决于能量在,E,F,附近的电子，电子的热容量与 成正比。,(2),从电子的热容量可获得,费米面附近能态密度,的信息。,一般温度下，晶格振动的热容量比电子的热容量大得多,。,低温范围下不能忽略电子的热容量。,在温度较高下，晶格振动的热容量是主要的，热容量基本是一个常数。,实验值,例：,过渡元素如,Mn,、,Fe,、,Co,和,Ni,具有较高的电子热容量,原因：,d,壳层电子填充不满，为原子较内层的轨道，,d,态,(5,重简并,),形成晶体时相互重叠较小产生较窄能带，,5,个能带发生一定的重叠，使得,d,能带具有特别大的 能态密度。,即 附近有较大的能态密度。,例：,重费米子系统,1975,年发现化合物,CeAl,3,低温下电子比热系数,按照近自由电子近似模型,电子比热系数越大，相应的电子的有效质量越大。,普通材料：,的材料称为,重费米子系统,。,目前发现的八种材料中均含有,f,态电子，具有,f,态电子的材料，其原子间距 。,可能有一个电子相互之间的作用很小，与之对应的能带较窄。,
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