数学分析课件一致收敛性

返回,后页,前页,1,一致收敛性,三、函数项级数的一致收敛判别法,返回,对于一般项是函数的无穷级数，其收敛性,要比数项级数复杂得多，特别是有关一致收,敛的内容就更为丰富，它在理论和应用上有,着重要的地位.,一、函数列及其一致收敛性,二、函数项级数及其一致收敛性,一、函数列及其一致收敛性,设,是一列定义在同一数集,E,上的函数,称为定义在,E,上的函数列.,(1),也可记为,以,代入(1),可得数列,如果数列,(2),收敛,则称函数列,(1),在点,收敛,称,为函数列(1)的收敛点.如果数列(2)发散,则称函数,列,(1),在点,发散,.,当函数列,(1),在数集,上每一,点都收敛时,就称(1)在数集,D,上收敛.这时,D,上每,一点,都有数列,的一个极限值与之相对应,根据这个对应法则所确定的,D,上的函数,称为函数,列(1)的极限函数.若将此极限函数记作,f,则有,或,函数列极限的,定义,:,对每一固定的,任,总存在正数,N,(,注意,:,一般说来,N,值与,给正数,和,x,),表示三者之间,的值都有关,所以有时也用,N,(,的依赖关系,),使当,时,总有,使函数列,收敛的全体收敛点集合,称为函数列,的,收敛域,.,例,1,上的,函数列,证明它的收敛域是,且有极限函数,证,式所表示的函数.,又,显然是发散的,.,所以,函数列,在区间,外都是发散的,.,故所讨论,的,函数列的收敛域是,这就证明了 在(,1 上收敛,且极限就是(3),例2,所以函数列,注,对于函数列,仅停留在讨论在哪些点上收敛是远,远不够的，重要的是要研究极限函数与函数列所具,有的解析性质的关系.例如,能否由函数列每项的,连续性、可导性来判断出极限函数的连续性和可导,性;或极限函数的导数或积分,是否分别是函数列,每项导数或积分的极限.对这些更深刻问题的讨论,必须对它在,D,上的收敛性提出更高的要求才行.,定义,1,数集,上，,使当,时，,由定义看到,一致收敛就是对,D,上,任何一点,函数列,趋于极限函数的速度是,“,一致,”的.这种一致性体现,显然,若函数列,在,D,上一致收敛,则,必在,D,上,每一点,都收敛,.,反之,在,D,上每一点都收敛的函数列,它在,D,上不一定一致收敛.,为:与 相对应的,N,仅与 有关,而与,x,在,D,上的,取值无关,因而把这个对所有,x,都适用的,N,写作,例,2,中的函数列,是一致收敛的,因为对任意,给定的,取,上什么值,都有,所以函数列,在,D,上不一致收敛于,f,的正面陈述是:,存在某正数,对任,何正数,N,都有某一点,的取值与,N,有关,),(,注意:,使得,由例,1,中知道,下面来证明这个结论.,事实上,若取,就有,号大于,与,状区域之内.,图,13-1,从几何意义上,看,就是存在某个预先给定,的,(,0,存在正数,N,使得当,时,对一切,都有,充分性,若条件(4)成立,由数列收敛的柯西准则,在,D,上任一点都收敛,记其极限函数为,由定义,1,知,根据一致收敛定义可推出下述定理:,定理,13.2,（余项准则）,上一致,收敛于,的充分必要条件是,:,当,存在不依赖于,任给的正数,的正整数,证,必要性,则对,由上确界的定义,对所有,也有,这就得到了(6)式.,充分性,由假设,对任给,0,存在正整数,N,使得,有,注,柯西准则的特点是不需要知道极限函数是什么,只是根据函数列本身的特性来判断函数列是否一致,收敛,而使用余项准则需要知道极限函数,但使用,较为方便.如例2,由于,故由(7)式得,例3,定义在0,1上的函数列,的图,像如图13-3 所示.,所以函数列(8)在,上不一致收敛.,例,4,讨论函数例,的一致,收敛性.,解,为了使用余项准则,首先求出函数列的极限函数.,易见,于是,容易验证,在,上只有惟一的极大值点,因此为最大值点,.,于是,根据余项准则知该函数列在,上不一致收敛.,注,不一致收敛是因为函数列余,的增大一致趋于零,项的数值在,附近不能随,(,见图,13-4),因此对任何不含原点的区间,在该区间上一致收敛于零,.,图13 4,二、函数项级数及其一致收敛性,称为定义在,E,上的函数项级数,为函数项级数(9)的部分和函数列.,收敛,即部分和,当,时极限,存在,则称级数,(9),在点,收敛,称为级数,(9),的收,敛点,.,若级数,(11),发散,则称级数,(9),在点,发散,.,若,级数(9)在,E,的某个子集,D,上每点都收敛,则称级数,(9)在,D,上收敛.若,D,为级数(9)全体收敛点的集合,这时就称,D,为级数(9)的收敛域.级数(9)在,D,上每一,点,x,与其所对应的数项级数,(11),的和,构成一个,定义在,D,上的函数,称为级数(9)的和函数,并记作,即,也就是说,函数项级数(9)的收敛性就是指它的部分,和函数列(10)的收敛性.,例5,定义2,则称,由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数,列来确定,所以得到的有关函数项级数的定理.,定理 13.3,(一致收敛的柯西准则),函数项级数,在数集,D,上一致收敛的充要条件为,:,对任,存在正整数,给的正数,，使当,对一切,和,或,此定理中当,p,=1 时,得到函数项级数一致收敛的一,个必要条件.,推论,(,函数项级数一致收敛的必要条件),函数项级,数,要条件是函数,列,在,上一致收敛于零,.,定理,13.4,(余项法则),函数项级数,在数集,D,一致收,上讨论,则由,上讨论这个级数,则由,例,6,讨论函数项级数,在,上一致,收敛性.,所以,于是,由,解得最大值点,故,解,当,时,;当,时,因此,在,上一致收敛.,注,当和函数容易求出时,余项准则是比较好用的一种判别方法.,0.5,1,0.2,0.4,0.6,0.8,1,图 13-5,三、函数项级数的一致收敛判别法,判别函数项级数的一致收敛性除了根据定义、柯西,准则或余项准则外,有些级数还可以根据级数一般,项的某些特性来判别.,定理13.5,(魏尔斯特拉斯判别法，或优级数判别法),设函数项级数,为收,敛的正项级数，,证,存在某正整数,N,使得当,n,N,西准则,任给正数,及任何正整数,p,有,根据函数项级数一致收敛的柯西准则,级数,在,D,上一致收敛.,例7,函数项级数,当级数,上成立关,系式(,13),时,则称级数,在区间,上优于级,数,或称,的,优级数,.,优级,数判别法也称为,M,判别法,.,利用阿贝尔分部求和公式(第十二章3的引理),可,以得到与数项级数相似的判别函数项级数一致收敛,的阿贝尔判别法和狄利克雷判别法.,设有定义在区间,I,上形如,的函数项级数.对级数(14)有:,定理13.6,(,阿贝耳判别法,),设,和正整,数 ,存在正数,M,使得,则级数(14)在,I,上一致收敛.,又由(ii),(iii)及阿贝耳引理(第十二章3的引理的推,论)得到,由函数项级数一致收敛性的柯西准则,得级数(14),在,I,上一致收敛.,证,定理13.7,(狄利克雷判别法),设,在,I,上一致有界;,则级数(14)在,I,上一致收敛.,证,由,(i),存在正数,M,对一切,x,I,有,因此当,n,p,为任何正整数时,对任何一个,x,I,再由(ii)及阿贝耳引理得到,0,存在正数,N,当,n,N,时,对,再由,(iii),对任给的,一切,x,I,有,所以,于是由一致收敛性的柯西准则,级数(14)在,I,上一致,收敛.,例8,函数项级数,在0,1上一致收敛.,于是,在,0,1,上一致收敛，,在,0,1,上单调增且一致有界,由,阿贝耳判别法就能得到结果.,证,由第十二章3(21)式,在,2,-,上有,例9,若数列 单调且收敛于零,则级数,致有界,于是令,一致收敛.,则由狄利克雷判别法可得级数(15)在,上,注,对于例7中的级数(15),只要 单调且收敛于零,闭区,间上一致收敛.,例10,设,在,上可积,证明 函数项级数,在,上一致收敛.,证,因为,在,上可积,所以存在,使,得,于是有,级数(15)就在不包含,的任何,由数学归纳法容易得到,因为数项级数,收敛,所以根据优级数,判别法知原级数在,上一致收敛.,复习思考题,1.,总结函数列和函数项级数一致收敛的判别方法,(不局限于书上现成的判别法);判别不一致收敛通,常可以使用哪些方法呢？,2,给出函数项级数在,D,上不一致收敛的柯西准则,(即柯西收敛准则的否定形式).,