麦克斯韦气体分子速率分布律

第十二章 气体动理论,12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律,第十章 波动,10,-,1,机械波的几个概念,*,第十二章 气体动理论,12-5 能量均分定理 理想气体内能,物理学,第五版,第一节,12.5,能量均分定理 理想气体内能,一、,自由度,2.单原子分子的平均动能,1.分子的运动的形式,物体的运动形式有,平动,、,转动,和,振动,.,气体分子的运动也,可以有,平动、转动和振动.视具体情况而定.,因为,单原子分子,的理想气体,分子可以看成质点,分子,只有平动,.,因此,单原子分子只有平动动能,.,/18,2,分子在各个方向运动的概率是相等的,结论:,与每一个速度二次方项相对应的平均平动动能相等,其值为,kT,/2.,/18,2.单原子分子的平均动能,3,3.刚性双原子分子的平均动能,哑铃式,双原子分子.,哑铃式双原子分子的运动可以看成是,质心C,的,平动,和分子绕通过质心C的y轴和z轴的,转动,.,刚性,双,原子分子,C,*,(i),质心,的平均,平动动能,为,(ii)分子绕y 轴和z轴的平均,转动动能,为,(iii)刚性双原子分子的,总平均动能,为,/18,4,4.非哑铃双原子分子的平均动能,对于,非刚性,双原子分子,两原子间的距离随时间变化.,如图所示,双原子分子好像被一根弹簧相连.,原子分子沿x轴作一维简谐振动.,因此,非刚性,双原子分子除了平动和转动外,还有,振动,.,非,刚性,双,原子分子,*,C,分子振动时,振动能量包含两项:,振动动能,和,振动势能,.,5,4.非哑铃双原子分子的平均动能,(i),平均振动动能为,(ii),平均振动势能为,(iii),总平均振动能量为,v,Cx,是质心沿 x轴的速度.,(iv)非刚性双原子分子的,总平均能量,为,/18,称为双原子分子的约化质量或折合质量,*,C,非,哑铃,双,原子分子,6,(iii),非刚性双原子,分子的总平均能量,总结:,分子平均能量为,(ii),刚性双原子,分子的总平均能量,(i).,单原子,分子的平均能量,上式可见,一般的双原子分子(非刚性)的平均能量共有7个能量二次方项.,三项属于平动,两项属于转动,两项属于振动.,7,自由度,分子能量中独立的速度和坐标的二次方项,数目,叫做分子能量自由度的数目,简称自由度，用符号 表示,.,自由度数目,平动,转动,振动,单原子分子的能量自由度 i=3;,刚性双原子分子的能量自由度 i=5;,非刚性双原子分子的能量自由度 i=7.,5.分子运动的自由度,8,单,原子分子,3 0 3,双,原子分子 3 2 5,多,原子分子 3 3 6,刚性,分子能量自由度,分子,自由度,平动,转动,总,9,理想气体，平衡态，分子平均平动动能,因,故,每个平动自由度的平均平动动能均为,将等概率假设推广到转动动能，每个转动自由度的转动能量相等，而且亦均等于,在温度为 的平衡态下，气体分子的每一个自由度，,都平均地具有 的动能。,能量均分定理,（能量按自由度均分定理）,能量均分定理,10,能量均分定理:,理想气体处于平衡态时,分子任何一个自由度的平均能量都相等,均为kT/2.即,对于理想气体分子,能量按自由度平均分配.,对,任意的分子,设有 t个平动自由度,r个转动自由度,v个振动自由度,则分子的平均能量为,请大家理解并记住,单原子和刚性双原子及非刚性双原子分子的各个自由度和总自由度.并能用上式计算分子的平均能量.,/18,11,三 理想气体的内能,理想气体的内能：分子动能和分子内原子间的势能之和,.,1 mol,理想气体的内能,理想气体的内能,理想气体内能变化,END,12,第一节,12-6,麦克斯韦气体分子速率分布律,处于平衡态的气体，其分子沿各向运动的机会均等，这并非意味着每个分子的运动速率完全相同，而是大量不同运动速度（大小和方向）的分子，在一定条件下所形成的一种热动平衡状态。,首先引用一种简明的实验方法，说明气体的分子数按速率分布的客观规律性：,麦克斯韦速率分布律，是表示气体处于热平衡时，气体的分子数按速度大小（速率）分布的规律。,麦克斯韦气体分子速率分布律,实验装置,一 测定气体分子速率分布的实验,金属蒸气,显示屏,狭缝S,接抽气泵,A,B,C,D,分子速率分布图,:,分子总数,:,间的分子数.,表示速率在 区间的分子数占总数的百分比.,速率分布函数,表示速率在 区间的分子数占总分子数的百分比.,表示在温度为 的平衡状态下，速率在,附近,单位速率区间 的概率.,物理意义,速率位于 内分子数,速率位于 区间的分子数,速率位于 区间的分子数占总数的百分比,快减,快增,两者相乘,曲线,曲线,曲线,有单峰，不对称,速率分布曲线,速率 恒取正,若,m、,T,给定，,玻耳兹曼常数，,函数的形式可概括为,麦氏分布函数,速率分布函数的归一化条件,速率在 到 区间内的分子数 与总 分子数 之比,若将速率区间扩展至 到,即具有一切可能速率的分子数与总分子数之比应为,速率分布函数的归一化条件,称为,3/2,速率分布函数,对分子质量为,m、,热力学温度为,T、,处于平衡态的,气体,最概然速率,3/2,速率分布函数,与此函数的极大值对应的速率 称为最概然速率,或,令,即,易得,因,则,物理意义,或,气体在一定温度下分布在最概然速率 附近单位速率间隔内的相对分子数最多.也就是说在,分子分布在 附近的概率最大.,p,v,（或 ）,不同,的速率分布曲线的比较,相同,相同,最概然速率,用,进行比较,平均速率,（算术平均速率）,根据某连续变量,x,的平均值等于该量与概率密度函数乘积的积分的定义。,在讨论平均平动动能时涉及到,方均根速率,概念；在讨论气体分子平均自由程问题时涉及到,分子的算术平均速率,概念。,麦克斯韦速率分布函数就是计算此类速率的概率密度函数。,或,也有,类似,3/2,注意到,方均根速率,（的统计平均值的开平方）,即 作为参与统计平均的连续变量,或,也有,类似,则,3/2,得,回忆 联系,注意到,速率小结,三种速率小结,最概然速率,平均速率,方均根速率,讨论,麦克斯韦速率分布中最概然速率 的概念,下面哪种表述正确？,（,A,）,是气体分子中大部分分子所具有的速率.,（,B,）,是速率最大的速度值.,（,C,）,是麦克斯韦速率分布函数的最大值.,（,D,）,速率大小与最概然速率相近的气体分子的比,率最大.,例2,计算在 时，氢气和氧气分子的方均根速率 .,氢气分子,氧气分子,1）,2）,例3,已知分子数 ，分子质量 ，分布函数,求,1,）速率在 间的分子数；,2,）速率,在 间所有分子动能之和.,速率在 间的分子数,例4,如图示两条 曲线分别表示氢气和,氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线，从图,上数据求出氢气和氧气的最可几速率。,2000,作 业,12-13,12-12,12-11,