定积分的换元法与分部积分法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,定积分之换元法,与分部积分法,考察定积分,记,变上限定积分,积分上限函数及其导数,变下限定积分,变上限定积分和变下限定积分通称为变限定积分,(x),和,(x),是a,b上的连续函数。,定理,如果函数f(x)在区间 a,b上连续，则变上限定积分,在,a,b,上可导，且它的导数是,即,(x),是,f(x),在,a,b,上的一个原函数。,证,由,积分中值定理,得,例1,求下列函数的导数,解,解,练习,解,（1）,（2）,例1,求下列函数的导数,解,（3）,解,（4）,如果变速直线运动物体的运动方程是,S=S(t),，则在时间段T,1,T,2,内所发生的位移变化为,S(T,1,)-S(T,2,),如果物体的运动方程为V=V(t)，则由定积分可知,连续函数 在区间 上的定积分等于它的一个,原函数 在积分区间上的增量,微积分基本公式,而,？,设 在区间 上,连续,，是它的,任意一个原函数，,则有,微积分基本公式牛顿莱布尼兹公式,证明思路,记作,牛顿莱布尼茨公式,微积分基本公式表明：,注意,求定积分问题转化为求原函数的问题.,例2 求下列定积分,解,因为 在 上连续，是它的一个原函数,所以,解,原式,解,解,解,原式,解,原式,解,设,，求,分段函数的积分,计算，应分区间,选取相应的函数,解,例3,求,解,由图形可知,例4,求,解,分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.,例1,定积分的换元法,换元必须换限,不换元则不变限,凑微分,另解,原式,解,原式,？,解,原式,积分 变量,变,，,积分区间,变,定积分的换元法,定理,应用换元公式时应注意:,（2）,（1）,例2,定积分的换元法,换元必须换限,解,令,原式,换元,换限,定积分的换元法,换元必须换限,解,原式,解,令,原式,定积分的换元法,换元必须换限,证,例5,对称区间上,偶函数的积分性质,解,原式,偶次方化倍角,解,原式,定积分的换元积分法小结,1、基本换元规律，与不定积分相同；,2、定积分的换元法，得到新元的原函数后，无须回代，,但必须做到,换元同时换限,。,定积分的分部积分法,定积分的分部积分公式,例6,解,原式,已积出的部分,要求值,解,定积分的分部积分法,已积出的部分要求值,解,定积分的分部积分法,已积出的部分要求值,定积分的分部积分法,已积出的部分要求值,解,原式,解,原式,所以,定积分的分部积分法小结,1、u与dv的,选择规律,，与不定积分的规律,完全相同,；,2、不同之处，仅在于：定积分的计算需要计算原函,数的函数值之差。,