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*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,*,11/27/2024 10:43 AM,2.7,一元函数的连续性与间断点,1.,函数的连续性,2.,函数的间断点,3.,连续函数的运算法则,4.,闭区间上连续函数的性质,11/27/2024 10:43 AM,1.,函数的连续性,【,定义,2.8】,设变量从初值改变到终,说明,改变量可以是正的，也可是负的。,例如,从,0,变到,1,，,从,1,变到,0,，,第,2,章 极限与连续,值，,变量,，,终值与初值之差称为变量的,改,记作。,则,则,11/27/2024 10:43 AM,如图所示,设函数，,第,2,章 极限与连续,时，,当自变量从改变到,函数相应的改变量,为。,11/27/2024 10:43 AM,例,设正方形的边长有一个改变量,如图所示，,面积的改变量,面积改变了多少？,第,2,章 极限与连续,11/27/2024 10:43 AM,简单地说，,。,如图所示,处不连续,处连续,第,2,章 极限与连续,函数也有一个很小的变化。,当自变量有一个很小的变化时，,即时，,11/27/2024 10:43 AM,或,则称函数,在点处连续,。,函数连续定义的等价形式,【,定义,2.9】,设函数在点的某,即,【,定义,2.10】,设函数在的某个,在点处连续,。,第,2,章 极限与连续,邻域内有定义，,若,则称函数,个邻域内有定义，,得的改变量时，,如果当自变量在点处取,函数的改变量，,11/27/2024 10:43 AM,事实上，,（,1,）函数在处有定义；,（,2,）极限存在；,（,3,）极限值等于函数值。,若有一条不满足，函数在处不连续,第,2,章 极限与连续,具备,下列三个条件：,函数在处连续要,同时,11/27/2024 10:43 AM,例,1,证明函数 在给定点处连续。,证,当在处有一个改变量时，,函数有改变量,所以，函数在处连续。,第,2,章 极限与连续,证毕。,11/27/2024 10:43 AM,【,定义,2.11】,设函数在区间上,说明,在左端点处和右端点处连,如上例中，,在内连续。,第,2,章 极限与连续,每一点都连续，,是的,连续区间,。,则称,在上连续,，,并称,续是指,而点可以是内的任意一点，,函数在给定点处连续，,因此,11/27/2024 10:43 AM,例,2,证明函数 在 内连续。,证,设为内任意一点，,因为,所以,即,第,2,章 极限与连续,处有改变量，,函数的改变量,在,11/27/2024 10:43 AM,因而,所以函数在点处连续。,再由的任意性知，,证毕。,同理可证在内连续。,第,2,章 极限与连续,内连续。,函数在,11/27/2024 10:43 AM,说明,由函数在一点处连续的定义及,连续函数的,极限符号,与,函数符号,可以交换,例如,求,解,第,2,章 极限与连续,有,11/27/2024 10:43 AM,2.,函数的间断点,【,定义,2.12】,若函数在点处不满足,定义等价于,第,2,章 极限与连续,连续条件，,称函数在点处间断，,断点,。,则称函数在,点处不连续,，,或,点称为的,间,11/27/2024 10:43 AM,若函数在的去心邻域内有定义，,（,1,）函数在处无定义；,（,2,）不存在；,（,3,）,第,2,章 极限与连续,则,下列情形之一,，,称函数在,处间断,11/27/2024 10:43 AM,例,3,讨论函数在点处的连续,如图所示,解,由于函数,在点处无定义，,函数在,处间断。,第,2,章 极限与连续,性。,故,11/27/2024 10:43 AM,例,4,设函数，,函数在点处的连续性。,解,由于,则不存在，,在处间断。,如图所示,第,2,章 极限与连续,故,讨论,11/27/2024 10:43 AM,例,5,设函数，,数在点处的连续性。,解,由于,故函数在处,如图所示,第,2,章 极限与连续,间断。,讨论函,11/27/2024 10:43 AM,间断点的类型,【,定义,2.13】,设是函数的间断点,均存在,若，称为,可去间断点,。,若，称为,跳跃间断点,。,例,4,中，是跳跃间断点。,例,5,中，是可去间断点；,第,2,章 极限与连续,第一类间断点,11/27/2024 10:43 AM,第二类间断点,至少有一个不存在,若其中至少有一个振荡，,例,3,中，是无穷间断点；,若其中至少有一个为，,如图,是函数,的振荡间断点。,第,2,章 极限与连续,称为,无穷间断点,；,称为,振荡间断点,。,11/27/2024 10:43 AM,3.,连续函数的运算法则,【,定理,】,若函数与在点处,在处也连续。,例,因为在区间内连续，,证,只要证明极限值等于函数值即可,（略）,所以在其定义域内连续。,第,2,章 极限与连续,连续，,则,11/27/2024 10:43 AM,【,定理,】,若函数在区间上单调,例,由于函数在闭区间,上单调增加且连续，,在闭区间上也是单调增加且连续。,所以其反函数,第,2,章 极限与连续,增加（减少）且连续，,也在对应的区间上，,调增加（减少）且连续。（证略）,则其反函数,单,11/27/2024 10:43 AM,【,定理,】,设函数由函数,例,求,即,解,第,2,章 极限与连续,与函数复合而成，,而函数在连续，,若,则,（证略）,11/27/2024 10:43 AM,例,讨论函数的连续性。,【,定理,】,设函数由函数,解,由于函数在内连续,而在内连续，,在内连续。,第,2,章 极限与连续,与函数复合而成，,连续，且，,连续，,也连续。（证略）,若函数在,而函数在,则复合函数在,则函数,11/27/2024 10:43 AM,初等函数在其,定义区间,内都是连续的,基本初等函数在其,定义域,内都是连续的,初等函数的连续性,第,2,章 极限与连续,包含在定义域内的区间,11/27/2024 10:43 AM,4.,闭区间上连续函数的性质,【,定理,】,（有界性定理）,若函数,【,定理,】,（最大值与最小值定理）,第,2,章 极限与连续,严格的理论证明省略。,下面定理只从几何直观上加以说明，,在闭区间上连续，,区间上有界。,则在此,若函数在闭区间上连续，,在此区间上一定有最大值和最小值。,则,将,11/27/2024 10:43 AM,如图所示,在闭区间上连续，,得最小值；,在处取得最大值。,函数在此区间上有界。,第,2,章 极限与连续,在处取,因此，,11/27/2024 10:43 AM,【,定理,】,（介值定理）,若函数在,推论（零点存在定理）,若函数在闭区,第,2,章 极限与连续,闭区间上连续，,上的最大值和最小值，,任一个实数,使得。,和分别为在,则对介于和之间的,至少存在一点,间上连续，,点，,且，,则至少存在一,使得。,11/27/2024 10:43 AM,如图所示,介值定理,零点存在定理,第,2,章 极限与连续,11/27/2024 10:43 AM,例,6,利用介值定理证明方程,在区间内各有一个实根。,证,设,由介值定理知，存在,使得,即为给定方程的实根。,又由于三次,方程最多有三个根，,第,2,章 极限与连续,所以各区间内只有一个。,11/27/2024 10:43 AM,例,7,求,解,例,8,求,解,第,2,章 极限与连续,11/27/2024 10:43 AM,例,9,证明当时，,证,所以,证毕。,第,2,章 极限与连续,11/27/2024 10:43 AM,内容小结,1.,函数连续的等价定义,2.,间断点,函数在点连续,第一类间断点,（,可去间断点，跳跃间断点,）,第二类间断点,（,无穷间断点，振荡间断点,）,第,2,章 极限与连续,存在,左右极限至少有一个不,左右极限都存在,充分必要条件,11/27/2024 10:43 AM,3.,初等函数在其定义区间内连续,4.,分段函数在分界点处的连续性，,5.,闭区间上连续函数的性质,（,有界性定理，最大值、最小值定理，介值定,第,2,章 极限与连续,定义或充要条件讨论。,需要用,理，零点存在定理,）,11/27/2024 10:43 AM,备用题,1.,若函数在点连续，,解,因为,所以,即在处连续。,反之不成立，,是有理数,是无理数,处处间断，,第,2,章 极限与连续,是否在处连续？,问,反之是否成立？,而处处连续。,如,11/27/2024 10:43 AM,2.,讨论函数间断点的类型,解,是其间断点。,因为,所以，,是可去间断点，,是无穷间断点，,第,2,章 极限与连续,即第一类间断点。,即第二类间断点。,11/27/2024 10:43 AM,时，函数为连续函数。,解,由连续性知,第,2,章 极限与连续,3.,设函数,11/27/2024 10:43 AM,4.,确定函数间断点的类型。,解,间断点,为无穷间断点。,故，为跳跃间断点。,第,2,章 极限与连续,
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