勾股定理经典例题

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,勾 股 定 理,1,a,2,+b,2,=c,2,c,b,a,勾 股 定 理,2,知识要点：,1.,勾股定理：,对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有,2.,勾股定理逆定理：,直角三角形的判定：如果三角形的三边长,a、b、c有关系：,，那么这个三角形是直角三角形。,a,2,+b,2,=c,2,a,2,+b,2,=c,2,c,b,a,A,B,C,蚂蚁从A点经B到C点的最少要爬了多少厘米？,G,E,3,4,5,12,5,13,（小方格的边长为1厘米）,练习,1:,.勾股数,能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即,a2+b2=c2,中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数,记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25;等,用含字母的代数式表示组勾股数：,（n为正整数）；,（n为正整数）；,（n为正整数）；,练习,2:,题型一：直接考查勾股定理,例一.在,中，,已知,，,求,已知,，,，求,分析：直接应用勾股定理,的长,的长,利用对角对边，分清直角边，斜边,练习,3:,解：,代王中学教学课件,例题2,如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？,题型二：利用勾股定理测量长度,分析：,这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后，.已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！,解：根据勾股定理AC2+BC2=AB2,即AC2+92=152,所以AC2=144,所以AC=12,练习,4:,例题3,如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？,A,小汽车,小汽车,B,C,观测点,例题4,“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过24,km/h.如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？,例题5,如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.,练习,5:,解：,如图2，根据勾股定理，AC,2,+CD,2,=AD,2,设水深AC=x米，那么AD=AB=AC+CB=x+0.5,x,2,+1.5,2,=（x+0.5）,2,解之得x=2.,故水深为2米.,代王中学教学课件,例题6,、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。,思路点拨：,在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。,解析：,设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得：（3x）,2,+（4x）,2,20,2,化简得x,2,16；直角三角形的面积,3x4x6x,2,96,总结升华：,直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。,例题7、,一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?,练习,6:,代王中学教学课件,【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD，与地面交于H,解：,OC1米(大门宽度一半)，OD0.8米（卡车宽度一半）在RtOCD中，由勾股定理得：CD,.米，C.,.（米）.（米）因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门,=,（一）用勾股定理求两点之间的距离问题,例题8,、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60方向走了,到达B点，然后再沿北偏西30方向走了500m到达目的地C点。（1）求A、C两点之间的距离。（2）确定目的地C在营地A的什么方向。,类型三：勾股定理的实际应用,练习,7:,解析,：（1）过B点作BE/AD DAB=ABE=60 30+CBA+ABE=180 CBA=90 即ABC为直角三角形 由已知可得：BC=500m，AB=,由勾股定理可得：,所以,（2）在RtABC中，BC=500m，AC=1000m CAB=30 DAB=60 DAC=30 即点C在点A的北偏东30的方向,代王中学教学课件,（二）用勾股定理求最短问题,例题9,如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高为4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程,练习,8:,解：,如图，在Rt中，底面周长的一半cm，根据勾股定理得 AC,（cm）（勾股定理）答：最短路程约为cm,代王中学教学课件,利用勾股定理作长为,的线段,练习,9:,例、如果ABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ABC的形状。,思路点拨,：要判断ABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题,练习,10:,解析,：由a,2,+b,2,+c,2,+50=6a+8b+10c，得：a,2,-6a+9+b,2,-8b+16+c,2,-10c+25=0,(a-3),2,+(b-4),2,+(c-5),2,=0。(a-3),2,0,(b-4),2,0,(c-5),2,0。a=3，b=4，c=5。3,2,+4,2,=5,2,a,2,+b,2,=c,2,。由勾股定理的逆定理，得ABC是直角三角形。,总结升华,：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。,代王中学教学课件,【变式】在数轴上表示,的点。,看作是直角三角形的斜边，,为了有利于画图让其他两边的长为整数，而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。,作法,：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作ACOA且截取AC=1，以OC为半径，以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为,。,解析：,可以把,练习,11:,四边形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。,练习,12:,【答案】：连结AC B=90，AB=3，BC=4 AC,2,=AB,2,+BC,2,=25（勾股定理）AC=5 AC,2,+CD,2,=169，AD,2,=169 AC,2,+CD,2,=AD,2,ACD=90（勾股定理逆定理）,2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN30，点A处有一所中学，AP160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？,练习,13:,思路点拨：,（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m,小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。,解析,：作ABMN，垂足为B。在 RtABP中，ABP90，APB30，AP160，AB,AP80。,（在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半）点 A到直线MN的距离小于100m,这所中学会受到噪声的影响。,同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD100(m)，BD60(m),CD120(m)。拖拉机行驶的速度为:18km/h5m/s t120m5m/s24s。答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。,如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC100(m)，由勾股定理得：BC21002-8023600,BC60。,如图所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DEDF，若BE=12，CF=5求线段EF的长。,思路点拨：,现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD,练习,14:,解,：连接AD 因为BAC=90，AB=AC 又因为AD为ABC的中线，所以AD=DC=DBADBC 且BAD=C=45 因为EDA+ADF=90 又因为CDF+ADF=90 所以EDA=CDF 所以AEDCFD（ASA）所以AE=FC=5 同理：AF=BE=12 在RtAEF中，根据勾股定理得：,，所以EF=13。,如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。,练习,15:,16、已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则ABE的面积为_,A 6cm2 B 8cm2,C 10cm2 D 12cm2,A,B,E,F,D,C,练习,16:,17、直角三角形的面积为,，斜边上的中线长为,，则这个三角形周长为（）,（B）,（C）,（D）,（A）,c,练习,18:,解：设两直角边长为X和Y,因斜边上的中位线为d 则斜边长为2d,则X+Y（2d）4d,因三角形的面积为S 则XY/2S XY2S,则（X+Y）X+Y+2XY4d+4S4（d+S）X+Y2（d+S）,则三角形的周长X+Y+2d2（d+S）+2d,代王中学教学课件,A,B,C,D,A=60,0,B=D=90,0,AB=4,CD=2,求S,四边形ABCD,.,练习,19:,A,B,C,D,E,（小方格的边长为1厘米）,练习,17:,代王中学教学课件,已知：如图，四边形ABCD中，ADBC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。求：四边形ABCD的面积。,练习,20:,如图所示，在,中,且,求,的长.,练习,21:,