连续信源及信源熵

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,3.8 连续信源及信源熵(4),3.6 连续信源及信源熵,3.6.1 一些基本概念,3.6.2 连续信源的熵,3.6.3 几种特殊连续信源的熵,3.6.4 连续熵的性质,3.6.5 最大连续熵定理,3.6.1 一些基本概念,(1) 连续信源定义,(2) 随机过程及其分类,(3) 通信系统中的信号,(4) 平稳遍历的随机过程,（1） 连续信源定义,连续信源：,输出消息在时间和取值上都连续的信源。,例子：语音、电视等。,连续信源输出的消息是随机的，与随机过程,x,(,t,)相对应。可用,有限维概率密度函数,描述。,(2) 随机过程及其分类, 随机过程, 随机过程的分类, 随机过程,随机过程定义：随机过程,x,(,t,)可以看成由一系列时间函数,x,i,(,t,)所组成，其中,i,=1,2,3,，并称,x,i,(,t,)为样本函数。, 随机过程的分类,可以分为两类：根据统计特性，连续随机过程可分为,平稳,与,非平稳,随机过程两大类。,(3) 通信系统中的信号,一般认为，,通信系统中的信号都是平稳的随机过程,。,(4) 平稳遍历的随机过程,随机过程,x,(,t,)中某一样本函数,x,(,t,)的,时间平均值,定义：,统计平均值,：,遍历的随机过程：时间平均与统计平均相等，即,3.6.2 连续信源的熵,(1) 计算连续信源熵的两种方法,(2) 连续信源的熵,(3) 连续信源的联合熵、条件熵,(1) 计算连续信源熵的两种方法,第一种方法：把连续消息经过,时间抽样和幅度量化,变成离散消息，再用前面介绍的计算离散信源的方法进行计算。即把连续消息变成离散消息求信源熵,第二种方法：通过时间抽样把连续消息变换成时间离散的函数，它是未经幅度量化的抽样脉冲序列，可看成是,量化单位,x,趋近于零,的情况来定义和计算连续信源熵。,(2) 连续信源的熵, 单变量连续信源数学模型, 连续信源的熵, 举例, 连续信源熵的意义, 单变量连续信源数学模型,单变量连续信源数学模型, 连续信源的熵,连续信源的熵, 举 例,若连续信源的统计特性为均匀分布的概率密度函数,当(,b,-,a,)1时，,H,c,(,X,)0，为负值，即,连续熵,不具备非负性,。,连续信源熵的意义,1）连续信源熵并不是实际信源输出的绝对熵，是相对熵,2）连续信源的绝对熵还有一项正的无限大量，虽然log,2,(,b,-,a,)小于0，但两项相加还是正值，且一般还是一个无限大量。因为连续信源的可能取值数有无限多，若假定等概率，确知其输出值后所得信息量也将为无限大；,3）,H,c,(,X,)不能代表信源的平均不确定度，也不能代表连续信源输出的信息量,4）这种定义可以与离散信源在形式上统一起来；,5）在实际问题中常常讨论的是熵之间的差值问题，如信息变差、平均互信息等。在讨论熵差时，两个无限大量互相抵消。所以熵差具有信息的特征；,(5) 连续信源的联合熵和条件熵,两个连续变量的联合熵,两个连续变量的条件熵,3.6.3 几种特殊连续信源的熵,(1) 均匀分布的连续信源的熵,(2) 高斯分布的连续信源的熵,(3) 指数分布的连续信源的熵,(1) 均匀分布的连续信源的熵,一维连续随机变量,X,在a,b区间内均匀分布时的熵为,H,c,(,X,)=log,2,(,b,-,a,),若,N,维矢量,X,=(,X,1,X,2,X,N,)中各分量彼此统计独立，且分别在,a,1,b,1,a,2,b,2, ,a,N,b,N,的区域内均匀分布，即,(2) 高斯分布的连续信源的熵,一维随机变量,X,的取值范围是整个实数轴,R，,概率密度函数呈正态分布，即,这个连续信源的熵为,(3) 指数分布的连续信源的熵,若一维随机变量,X,的取值区间是0,)，其概率密度函数为,3.6.4 连续熵的性质,(1) 连续熵可为负值,(2) 连续熵的可加性,(3) 平均互信息的非负性,(4) 平均互信息的对称性和数据处理定理,3.6.5 最大连续熵定理,在不同的限制条件下，信源的最大熵也不同。,(1) 限,峰值功率,的最大熵定理,(2) 限,平均功率,的最大熵定理,(3),均值受限,条件下的最大熵定理,(1) 限,峰值功率,的最大熵定理, 限,峰值功率,的最大熵定理, 证明过程, 说明, 限,峰值功率,的最大熵定理,若代表信源的,N,维随机变量的取值被限制在一定的范围之内，则,在有限的定义域内，,均匀分布,的连续信源具有最大熵。, 证明过程,设,N,维随机变量,定义,q,(,x,)为除均匀分布以外的其它任意概率密,度函数,H,c,p,(,x,),X,表示,均匀分布,连续信源的熵,H,c,q,(,x,),X,表示,任意分布,连续信源的熵, 说 明,在实际问题中，常令,b,i,0,a,i,=-,b,i,i,=1,2,N,。这种定义域边界的平移并不影响信源的总体特性，因此不影响熵的取值；,此时，随机变量,X,i,(,i,=1,2, ,N,)的取值就被限制在,b,i,之间，峰值就是,b,i,；,如果把取值看作输出信号的幅度，则相应的峰值功率为2,b,i,；,所以上述定理被称为峰值功率受限条件下的最大连续熵定理，简称,限峰值功率的最大熵定理,。此时最大熵值为,(2) 限,平均功率,的最大熵定理, 限,平均功率,的最大熵定理, 证明过程, 说明, 限,平均功率,的最大熵定理,若信源输出信号的平均功率,P,和均值,m,被限定，则输出信号幅度的概率密度函数为,高斯分布,时，信源具有最大熵值。, 证明过程,单变量连续信源,X,呈高斯分布时的概率密度函数为,对平均功率和均值的限制就等于对方差的限制；,把平均功率受限的问题变成方差受限的问题来讨论；,把平均功率受限当成是,m,=0情况下，方差受限的特例,。,定义高斯分布的连续信源的熵记为,H,c,p,(,x,),X,定义任意分布的连续信源的熵记为,H,c,q,(,x,),X,已知,Hc,p,(,x,),X,=(1/2)log,2,(2,e,),任意分布的连续信源的熵为, 说 明,当连续信源输出信号的均值为零、平均功率受限时，只有信源输出信号的幅度呈高斯分布时，才会有最大熵值。,两种功率受限情况与噪声比较,峰值功率受限、均匀分布的连续信源熵最大,；,平均功率受限、均值为零高斯分布的连续信源熵最大,；,在这两种情况下，信源的统计特性与两种常见噪声均匀噪声和高斯噪声的统计特性相一致。,从概念上讲这是合理的，因为噪声是一个最不确定的随机过程，而最大的信息量只能从最不确定的事件中获得。,（3）均值受限的最大熵定理,连续信源的均值受到限制时，则输出信号的幅度呈,指数分布,时达到最大熵。,证明（课后自己练习）,3.6.6 熵功率,熵功率的定义,信源剩余度,熵功率定义,若平均功率为P的非高斯分布的信源具,有熵h(X)，称熵也为h(X)的高斯信源,的平均功率称为熵功率。,连续信源的剩余度,