数学建模的思想和方法

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学建模的思想和方法,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学建模竞赛的思想和方法,数学建模的思想和方法,主讲人：杨树国,1.1 从现实对象到数学模型,1.2 数学建模的重要意义,1.3 数学建模示例,1.4 数学建模的方法和步骤,1.5 数学模型的特点和分类,1.6 怎样学习数学建模,1.数学建模的思想和方法,2.数学建模竞赛的的思想和方法,2.1 参赛目的和原则,2.2 数学建模队伍的组织,2.3 建模竞赛的步骤和方法,2.4 注意事项,玩具、照片、飞机、火箭模型,实物模型,水箱中的舰艇、风洞中的飞机,物理模型,地图、电路图、分子结构图,符号模型,模型,是为了一定目的，对客观事物的一部分进行,简缩、抽象、提炼出来的,原型,的替代物。,模型,集中反映了,原型,中人们需要的那一部分特征。,1.1 从现实对象到数学模型,启示：,很多同学，尤其是非数学专业的同学，把数学建模看得很神秘，总以为它高深莫测，其实并非如此,。,实际上，数学建模就是发生在我们身边的事情，可能你不经意间就在进行着数学建模和求解，只不过你不知道罢了。,可以毫不夸张地说：,数学建模无时不在，无处不在!,数学建模无时不在，无处不在!,用,x,表示船速，,y,表示水速，列出方程：,答：船速每小时,20,千米/小时.,航行问题,:,甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?,x,=,20,y,=,5,求解,数学建模无时不在，无处不在!,航行问题求解过程分析:,作出简化假设（船速、水速为常数）；,用符号表示有关量（,x,y,表示船速和水速）；,用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）,列出数学式子（二元一次方程）；,求解得到数学解答（,x=20,y=5,）；,回答原问题（船速每小时,20,千米,/,小时）。,在解决这个问题的过程中，我们经历了如下的步骤：,实际上，上述过程就是数学的建模和求解过程，连这样的小问题都是数学建模的问题，那么关于数学建模的广泛性和普遍性，大家就可想而知了。,数学模型和数学建模,对于一个,现实对象,，为了一个,特定目的,，,根据其,内在规律,，作出必要的,简化假设,，,运用适当的,数学工具,，得到的一个,数学结构,。,建立数学模型的全过程,（包括表述、求解、解释、检验等）,数学模型,(Mathematical Model),数学建模（,Mathematical Modeling),1.2 数学建模的重要意义,电子计算机的出现及飞速发展；,数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。,数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越,来越受到人们的重视。,在一般工程技术领域数学建模大有用武之地；,在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；,数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。,数学建模的具体应用,分析与设计,预报与决策,控制与优化,规划与管理,数学建模,计算机技术,知识经济,如虎添翼,1.3,数学建模示例,1,.,3.1,椅子能在不平的地面上放稳吗?,问题分析,模型假设,通常 三只脚着地,放稳 四只脚着地,四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形,;,地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面,;,地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。,模型构成,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,椅子位置,利用正方形(椅脚连线)的对称性,用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置,四只脚着地,距离是,的函数,A,C,两脚与地面距离之和 f(,),B,D,两脚与地面距离之和 g(,),x,B,A,D,C,O,D,C,B,A,椅脚与地面距离为零,正方形ABCD,绕,O,点旋转,四个距离(四只脚),两个距离,正方形对称性,f(,),g(,),是,连续函数,对任意,f,(,),g,(,)至少一个为0,数学问题,已知：,f,(,),g,(,),是,连续函数;对任意,，,f,(,),g,(,)=0;且,g,(,0,)=0，,f,(,0,)0.,证明：存在,0,，使,f,(,0,)=,g,(,0,)=0.,地面为连续曲面,椅子在任意位置至少三只脚着地,模型构成,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,将椅子,旋转90,0,，对角线AC和BD互换。由,g,(,0,)=0，,f,(,0,)0，知,f,(,/2,)=0,g,(,/2,)0.令,h,(,)=,f,(,),g,(,),则,h,(0)0和,h,(,/2,)0.由,f,g,的连续性知,h,为连续函数,据连续函数的基本性质,必存在,0,使,h,(,0,)=0,即,f,(,0,)=,g,(,0,).,因为,f,(,),g,(,)=0,所以,f,(,0,)=,g,(,0,)=0.,评注和思考,建模的关键:,和,f,(,),g,(,)的确定.,模型求解,给出一种简单、粗糙的证明方法,1.3.2,商人们怎样安全过河,问题(智力游戏),3名商人,3名随从,随从们密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人越货.,但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?,问题分析,多步决策过程,决策:每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员,要求:在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.,河,小船(至多2人),模型构成,X,k,-,第,k,次渡河前此岸的商人数,y,k,-,第,k,次渡河前此岸的随从数,x,k,y,k,=0,1,2,3;,k,=1,2,s,k,=(,x,k,y,k,)-过程的状态,S=(,x,y,),x,=0,y,=0,1,2,3;,x,=3,y,=0,1,2,3;,x,=,y,=1,2,S-,允许状态集合,u,k,-第k次渡船上的商人数,v,k,-第,k,次渡船上的随从数,d,k,=(,u,k,v,k,)决策,D=(,u,v,),u+v,=,1,2-,允许决策集合,u,k,v,k,=0,1,2;,k,=1,2,s,k,+1,=,s,k,d,k,+(-1),k,-状态转移律,求,d,k,D(,k,=1,2,n),使,s,k,S,并按,转移律,由,s,1,=(3,3)到达,s,n,+1,=(0,0).,多步决策问题,模型求解,x,y,3,3,2,2,1,1,0,穷举法-编程上机,图解法,状态,s,=(,x,y,)-16个格点,-10个点,允许决策-移动1或2格;,k奇,左,或下移;k偶,右或上移.,s,1,s,n,+1,d,1,，,d,11,给出安全渡河方案,评注和思考,规格化方法,易于推广,d,1,d,11,允许状态,S=(,x,y,),x,=0,y,=0,1,2,3;,x,=3,y,=0,1,2,3;,x=y,=1,2,背景,年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999,人口(亿)5 10 20 30 40 50 60,世界人口增长概况,中国人口增长概况,年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000,人口(亿)3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0,研究人口变化规律,控制人口过快增长,1.3.3,如何预报人口的增长,指数增长模型马尔萨斯提出(1798),常用的计算公式,x,(,t,)-,时刻,t,的,人口,基本假设,:人口(相对)增长率,r,是常数,今年人口,x,0,年增长率,r,k,年后人口,随着时间增加，人口按指数规律无限增长,指数增长模型的应用及局限性,与,19,世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合,适用于,19,世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代,可用于短期人口增长预测,不符合,19,世纪后多数地区人口增长规律,不能预测较长期的人口增长过程,19世纪后人口数据,人口增长率,r,不是常数(逐渐下降),阻滞增长模型(Logistic,模型),人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：,资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大,假设,r,-,固有增长率(,x,很小时),x,m,-人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）,r,是,x,的减函数,dx,/,dt,x,0,x,m,x,m,/2,x,m,t,x,0,x,(,t,)-S,形曲线,x,增加先快后慢,x,0,x,m,/2,阻滞增长模型(,Logistic,模型),参数估计,用指数增长模型或阻滞增长模型作人口,预报，必须先估计模型参数,r,或,r,x,m,利用统计数据用最小二乘法作拟合,例：美国人口数据（单位-百万）,1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990,31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4,专家估计,r,=0.2557/10,x,m,=392.1,阻滞增长模型(,Logistic,模型),模型检验,把模型计算结果,与实际数据比较,实际为281.4(百万),模型应用-预报美国,2010,年的人口,加入2000年人口数据后重新估计模型参数,r,=0.02490,x,m,=434.0,x,(2010)=306.0,阻滞增长模型(,Logistic,模型),数学建模的基本方法,机理分析,测试分析,根据对客观事物特性的认识，,找出反映内部机理的数量规律,将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的,统计分析，找出与数据拟合最好的模型,机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究,(Case,Studies),来学习。我们所指的建模主要指机理分析。,二者结合,用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数,1.4,数学建模的方法和步骤,数学建模的一般步骤,模型准备,模型假设,模型构成,模型求解,模型分析,模型检验,模型应用,模,型,准,备,了解实际背景,明确建模目的,搜集有关信息,掌握对象特征,形成一个,比较清晰,的问题,模,型,假,设,针对问题特点和建模目的,作出合理的、简化的假设,在合理与简化之间作出折中,模,型,构,成,用数学的语言、符号描述问题,发挥想像力,使用类比法,尽量采用简单的数学工具,数学建模的一般步骤,模型,求解,各种数学方法、软件和计算机技术,如结果的误差分析、统计分析、,模型对数据的稳定性分析,模型,分析,模型,检验,与实际现象、数据比较，,检验模型的合理性、适用性,模型应用,数学建模的一般步骤,数学建模的全过程,现实对象的信息,数学模型,现实对象的解答,数学模型的解答,表述,求解,解释,验证,(归纳),(演绎),表述,求解,解释,验证,根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题,选择适当的数学方法求得数学模型的解答,将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象,用现实对象的信息检验得到的解答,实践,现实世界,数学世界,理论,实践,1.5,数学模型的特点和分类,模型的逼真性和可行性,模型的渐进性,模型的强健性,模型的可转移性,模型的非预制性,模型的条理性,模型的技艺性,模型的局限性,数学模型的特点,应用领域,人口、交通、经济、生态,数学方法,初等数学、微分方程、规划、统计,表现特性,描述、优化、预报、决策,建模目的,了解程度,白箱,灰箱,黑箱,确定和随机,静态和动态,线性和非线性,离散和连续,数学模型的分类,1.6,怎样学习数学建模,数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术,技术大致有章可循,艺术无法归纳成普遍适用的准则,想像力,洞察力,判断力,学习、分析、评价、改进别人作过的模型,亲自动手，认真作几个实际题目,2.数学建模竞赛的的思想和方法,全国大学生数学建模竞赛是由教育部高等教育司和中国工业与应用数学学会共同主办的面向大学生的课外科技活动,是全国高校规模最大的课外科技活动之一,居教育部四大学科竞赛之首。,本竞赛在每年9月(一般在中旬某个周末的星期五至下周星期一共3天，72小时）举行，竞赛面向全国大专院校的学生，不分专业（但竞赛分本科、专科两组，本科组竞赛所有大学生均可参加，专科组竞赛只有专科