高斯过程(正态过程)

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二层,第三层,第四层,第五层,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二层,第三层,第四层,第五层,*,高斯随机过程,北京航空航天大学,主讲人：张有光,电话：,82314978,，,F806,第,12,讲,高斯,数学王子,他的思想深入数学、空间、大自然的奥秘,.,他推动了数学的进展直到下个世纪。,数学是科学的皇后,1777,1855,德国,拉普拉斯认为：高斯是世界上最伟大的数学家,主要贡献,数据拟合中最小二乘法,正态分布公式 和高斯曲线,代数基本定理：多项式解的存在性,对数论、复变函数、椭圆函数、超几何级数、统计数学等各个领域都有卓越的贡献,第一个成功地运用复数和复平面几何,算术探究,奠定了近代数论的基础,一般曲面论,开创了近代微分几何；最先领悟到存在非欧几何的数学家,现代数学分析学大师，,无穷极数的一般研究,，引入了高斯级数的概念，对级数的收敛性第一次作了系统的研究，从而开创了关于级数收敛性研究的新时代，开辟了通往,19,世纪中叶分析学的严密化道路。,在数学中：以高斯命名的有,高斯公式,、高斯曲率、,高斯分布,、,高斯方程、,高斯曲线,、,高斯平面、高斯记号、,高斯概率,、高斯变换、高斯分解、高斯和、高斯素数、高斯级数、高斯系数、高斯准则、高斯原理、,高斯消元法,、,高斯映射、高斯测度、高斯二次型、高斯多项式、高斯不等式、,高斯随机过程、高斯随机变量,等等,.,主要内容,高斯随机过程定义,多维高斯随机变量,高斯随机过程性质,1,、高斯随机过程,定义,随机过程 ，在 中的,任意,n,个时刻,(,n,是正整数,),上的,n,维,随机矢量 的联合分布,密度函数是高斯的：,2,、高斯过程的重要性,广泛性,中心极限定理：大量独立的，均匀微小的随机变量总和近似地服从高斯分布,例如，无线电设备中的热噪声（前置放大器）、通信信道中噪声信号、大气湍流、宇宙噪声、维纳过程（布朗运动）等等,数学优点,二阶矩、广义平稳与狭义平稳等价，高斯随机过程通过线性系统还是高斯随机过程,二、多维高斯随机变量,一维高斯（正态）分布,二维高斯（正态）分布,n,维高斯（正态）分布,1,、一维高斯（正态）分布,特别地,2,、二维高斯（正态）分布,特别地,r=0,标准化可得：,n,维联合分布？,2,、二维高斯分布的矩阵形式,2,、二维高斯分布的矩阵形式,与一元高斯分布相比，可以推测,n,元高斯分布的形式,3,、,n,维高斯联合概率密度,n,维高斯随机变量 均值矢量 ，且它的协方差矩阵 是正定矩阵，则概率密度函数为：,【,补充,】,陈省身“好数学”,三角形三个内角之和等于,180,度,三角形三个外角之和等于,360,度,为什么？,n,边形,n,个内角之和等于,(n-2)180,度,n,边形,n,个外角之和等于,360,度,3,、,n,维高斯联合概率密度,先看,n,元完全独立标准高斯随机变量,3,、,n,维高斯联合概率密度,3,、,n,维高斯联合概率密度,协方差矩阵,C,为对称正定的，根据矩阵论定理，存在可逆线性变换，可以对角化，也即：,雅可比：,线性变换,4,、,n,维高斯分布特征函数,证明：先看标准正态,于是,5,、多维高斯随机矢量的边沿分布,子矢量,6,、不相关独立,n,维高斯随机变量 互不相关，则协方差矩阵为对角矩阵，于是,不相关独立,6,、子向量的统计独立性,X,为高斯分布的随机矢量，,X1,和,X2,为两个子矢量，其协方差矩阵,则,X1,和,X2,独立的充要条件,证明：,必要性：,两个随机向量独立，则第一个的分量与所有第二个随机变量的分量独立，也即,充分性：,7,、线性变换,等价定义,重要,为联合正态分布的,充分必要条件,正态分布,8,、,n,维高斯随机矢量各阶矩,一阶矩,二阶矩,三、高斯随机过程,1,、高斯随机过程定义,2,、广义平稳严平稳,3,、复高斯随机过程,1,、高斯随机过程,定义,定义：随机过程 ，在 中的,任意,n,个时刻,(,n,是正整数,),上的,n,维,随机矢量 的联合分布,密度是高斯的：,2,、广义平稳严平稳,3,、复高斯随机过程,如果所给定的随机过程,是复高斯随机过程，则在,n,个时刻对应的,n,个复随机变量，,构成,2n,维联合高斯分布。,4,、高斯随机过程的特性,高斯随机过程完全由它的均值和协方差函数决定。,高斯随机过程在不同时刻,的 取值不相关和相互独立等价,高斯过程的广义平稳性意味着严格平稳性,高斯随机过程通过线性系统还是高斯的,举例说明,设,X(t),是定义在,a,b,上的高斯随机过程，是两个任意的非零实函数，令,证明,联合高斯的。,证明：,都是高斯随机变量,小结,n,维正态分布概率密度函数与特征函数，注意归纳方法与演绎方法结合的科学思维方法,判定联合正态的方法,高斯随机过程线性系统也是高斯随机过程，更进一步任意随机过程可以看成是高斯白噪声通过线性系统的输出,本次作业,P189,第,5,7,练习题。,谢谢大家,