随机变量函数的分布

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,随机变量函数的分布,离散随机变量的函数的分布,连续型随机变量的函数的分布,随机变量的函数的分布,在许多实际问题中,常常需要研究随机变量的函数的分布问题,例:,测量圆轴截面的直径d,而关心的却是截面积：,d为随机变量,S 就是随机变量d的函数。,背景,一般地，设y=g(x)是一元实函数，X是一个随机变量，,若X的取值在函数y=g(x)的定义域内，,则Y=g(X)也为一随机变量。,若X为离散型 随机变量,其分布律为,X,x,1,x,2,x,3,x,n,p,k,p,1,p,2,p,3,p,n,则随机变量X的函数 Y=g(X)的分布律为,Y,g(x,1,),g(,x,2,)g(x,3,)g(x,n,),p,k,p,1,p,2,p,3,p,n,如果g(x,i,)与g(x,j,)相同，此时将两项合并，对应概率相加,离散随机变量的函数的分布,设随机变量X的分布律为,求Y=2X,2,+1的分布律,解,例1,由题设可得如下表格,X,1 0 1 2,p,k,0.2 0.3 0.4 0.1,x,-1,0,1,2,Y=2x,2,+1,3,1,3,9,概率,0.2,0.3,0.4,0.1,所以，y=2x,2,+1的分布律为,y,1 3 9,p,k,0.3 0.6 0.1,解,由题设可得如下表格,设圆半径X的分布律为,求周长及面积的分布律,例2,X,9.5 10 10.5 11,p,k,0.06 0.5 0.4 0.04,x,9.5,10,10.5,11,周长,19,20,21,22,面积,90.25,100,110.25,121,概率,0.06,0.5,0.4,0.04,周长,19,20,21,22,概率,0.06,0.5,0.4,0.04,所以，周长的分布律为,面积,90.25,100,110.25,121,概率,0.06,0.5,0.4,0.04,面积的分布律为,Y,的分布律为,练习,设,解,设 X 为一个连续型随机变量，其概率密度函数为,f,(x)。,y=,g,(x),为一个连续函数，求随机变量Y=g(X)的概率密度函数,(1)求Y的分布函数 F,Y,(y),(2)对F,Y,(y)求导，得到,f,Y,(y),连续型随机变量的函数的分布,一般方法,设随机变量X的密度函数为,求随机变量Y=2X+8的概率密度。,先求Y=2X+8的分布函数 F,Y,(y,).,解,（1）,例,4,（2）求Y=2X+8的概率密度,解,例,5,再由分布函数求概率密度.,例,5,即 Y 服从19，21上的均匀分布,Y=0.1X+10的密度函数为,X的密度函数为,设随机变量,服从90，110上的均匀分布,求,Y=0.1X+10的密度函数。,例6,解,解,例,7,设随机变量X服从正态分布,求,的概率密度,。,a0,推论,定理,正态分布的线性函数仍服从正态分布,正态分布的标准化,练一练,答案：0.3830,练习,设球的半径X的概率密度为,试求体积的概率密度。,即,解,体积 的概率密度为,练习,设圆的半径X服从区间(1,2)上的均匀分布，求圆面积的分布密度函数。,答案：,小结,1.,离散型随机变量的函数的分布,2.,连续型随机变量的函数的分布,方法1,方法2,注意条件.,