能控性和能观测性-1讲

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 线性控制系统的能控性和能观测性,Modern Control Theory,1,第四章 线性控制系统的能控性和能观测性,本章主要内容,线性连续系统的能控性,线性连续系统的能观性,对偶原理,线性系统的能控标准形与能观标准形,线性系统的结构分解,传递函数矩阵与能控性、能观性的关系,2,状态空间模型建立了输入、状态、输出之间的关系。,状态方程反映控制输入对状态的影响；,输出方程反映系统输出对控制输入和状态的依赖。,运动分析揭示了输入和初始状态对系统运行状况的影响。,引言问题的提出,3,引言问题的提出,经典控制理论：,传递函数,（输入输出特性）,输出量即是被控量,（只要系统稳定，,输出便可以受控，且输出总是可测量的）,现代控制理论：,状态空间,（状态方程和输出方程）,输入、输出,外部变量,状态,内部变量,研究系统的最终目的：更好地,了解,系统和,控制,系统。,思考？,1、当系统运动状况不佳时，能否通过系统的输入来改变系统的动态变化行为？,2、系统内部所有动态信息由状态反映，那么能否通过系统的输出来反映系统所有的状态信息？,4,引言问题的提出,含义1:,系统输入对状态变量的支配,系统输出对状态变量的反映,含义2:,能否通过控制作用由任意初态确定终态,能否由输出量的测量值确定各状态,5,多变量系统的两个基本问题：,在有限时间内，控制作用能否使系统从初始状态转移到要求的状态,?,引言问题的提出,指控制作用对状态变量的影响或控制能力，称之为,状态的能控性问题,。,即，如果系统的每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制，而由,任意的始点,达到终点，则,系统能控(状态能控),。,6,在有限时间内，能否通过对系统输出的测定来估计系统的各个状态？,指系统的输出量（或观测量）对系统状态的识别能力，称之为,状态的能观性问题,。,能控性、能观性,-刻画系统内部结构的,两个,基础性概念，,由,卡尔曼(Kalman)于1960年提出的，在现代控制理论中起,重要作用,。,即，如果系统的所有状态变量的,任意形式,的运动均,可由输出完全反映，则称系统是,状态能观,测的。,引言问题的提出,状态能控否，决定能否实现最优控制；,能观否，决定能否实现状态反馈控制。,7,例4.1、,给定系统的状态空间描述：,引言问题的提出,表明：状态变量 、都可通过选择输入u而由,始点 终点，状态都能控。,输出y只能反映状态变量 ，所以 不能观测。,解：展开得,8,例4.2,引言问题的提出,RLC网络,选择电感中的电流以及电容上的电压作为状态变量，电容上的电压为输出变量,即,当R1R4,R2R3，即电桥不平衡时，输入u能控制x1和x2所有状态变量，称系统是能控的。,9,例4.3,RLC网络,同样,引言问题的提出,当R1R4=R2R3，即电桥平衡时，电感中的电流作为电路的一个状态是不能由输出变量来确定的，称该系统是不能观测的。,10,4.1 线性定常连续系统的能控性,本节主要内容,能控性定义,能控性判据,状态能控判据,输出能控,判据,11,含义：,能控性：u(t)x(t)状态方程,一、,能控性定义（可控性）,1、状态能控性,对于,线性定常系统,，如果存在一个分段连续的输入能在有限时间间隔内，使得系统从,任意,一个,初始状态,转移到,任意的,终止状态,，则称此系统是,状态完全能控,的，简称,系统是能控的,。,4.1 线性定常连续系统的能控性,一致可控,12,eg：,假如相平面中的,P,点能在输入的作用下转移到任一指定状态,，,那么相平面上的,P,点是能控状态。,P,P,3,P,1,P,2,P,n,P,4,0,x,1,x,2,4.1 线性定常连续系统的能控性,13,4.1 线性定常连续系统的能控性,把系统的初始状态规定为状态空间中的任意,非零点,，而把终端目标规定为状态空间中的,原点,。,说明：,这种定义方式不便于写成解析形式。为了便于数学处,理，而又不失一般性，可以把上面的能控性定义分两,种情况叙述：,状态,能控,性,：,对于给定的线性定常,系统，如果存在一个分段连续的输,入，能在有限时间间隔内，将系统,由任意,非零初始状态,转移到,零状,态,，则称此系统是,状态完全能控,的，简称,系统是能控的,。,14,4.1 线性定常连续系统的能控性,把系统的初始状态规定为状态空间的,原点,，把终端状态规定为任意,非零有限点,。,状态,能达,性,：,对于给定的线性定常系统，如果 存在一个分段连续的输入，能在有限时间间隔内，将系统由,零初始状态,转移到任一,指定的非零终端状态,，则称此系统是,状态完全能达,的，简称系统是能达的,。,注意：,1、,在线性定常系统中，,能控性与能达性是可逆的,，即：能控系统一定是能达系统，能达系统一定是能控系统。,2、在讨论能控性问题时，,控制,作用从理论上说是无约束的，其,取值并非唯一,。,15,4.1 线性定常连续系统的能控性,2、输出能控性控制输入影响输出的能力,在分析和设计控制中，系统的被控量往往不是系统的状态，而是系统的输出，必须研究系统的输出是否能控。,在有限时间区间 ，,存在,一个无,约束的分段连续的,控制输入,，能使,任,意初始输出,转移到状态空间原点,=0，则称系统是,输出完全能控,的，简称,输出能控,。,对于系统,输入有唯一解的问题,16,4.1 线性定常连续系统的能控性,问题：,如何来判断能控性？,二、,能控性判别准则,1、定理1,对于,n,阶线性定常系统 ，,其系统,状态完全能控,的充分必要条件是：由,A,、B,构成的,能控性判别矩阵,满秩,，即：,n,为该系统的维数,能控性,矩阵,17,4.1 线性定常连续系统的能控性,（,1,）,例4.4,判别下列状态方程的能控性。,系统状态不完全能控。,解：（,1,）,18,（2）,（3）,（4）,19,解：,（2）,，,系统不能控。,（3）,，,系统能控。,（4）,系统不能控。,注意：,对于行数列数的情况求,秩时：rank =rank,20,4.1 线性定常连续系统的能控性,2、定理2：,设线性定常系统 ，,具有,互不相同,的,实,特征值，则其,状态完全能控的充分必要条件是：,系统经非奇异变换后的,对角标准,型：,中，阵,不存在全零行,。,21,证明,：（1）,非奇异,线性变换后系统的能控,性不变。,设,令则：,其中：,22,非奇异线性变换后，系统的,能控性不变。,23,4.1 线性定常连续系统的能控性,因为线性变换后的状态变量间无耦合，由能控的定义，,显然能控性的充要条件为,变换后的b阵中无全为零的行,。,（2）,24,4.1 线性定常连续系统的能控性,解,：,（,1,）状态方程为对角标准型，,B,阵中不含有元素全为零的行，故系统是能控的。,（,2,）状态方程为对角标准型，,B,阵中含有元素全为零的行，所以系统是不能控的。,（,2,）,（,1,）,例4.5,判别下列系统的状态能控性,状态变量,x,2,不受控制,此方法的优点在于很容易判断出能控性，并且能将不能控的部分确定下来，但它的缺点是要进行线性变换。,25,4.1 线性定常连续系统的能控性,例4.6,判别下列系统的状态能控性。,解：,状态方程为对角型，,B,阵中不含有元素全为零的行，,故系统是能控的。,正解：定理2要求,：,互不相同,的,实,特征值,只能用定理1的代数判据判断,系统是不能控的,26,4.1 线性定常连续系统的能控性,3、定理3：,若线性定常系统 ，具有,重实,特征值,，且,每一个重特征值只对应一个独立,特征向量,，则系统状态完全能控的充分必要,条件是：系统经非奇异变换后的约当标准型,中，,每个约当块,（）,最后一行,所,对应的 阵中的各行元素不全为零。,27,例：设，已知,该系统,能控,4.1 线性定常连续系统的能控性,28,4.1 线性定常连续系统的能控性,例4.7,判别下列系统的状态能控性。,解：(,1),系统是,能,控的。,(2),系统不,能,控的。,（,1,）,(2),（3）,(3),系统不,能,控的。,29,4.1 线性定常连续系统的能控性,系统输出能控的,充分必要条件,是,的,秩为输出变量的数目,。即：,4、输出能控性判据,注意：,一般而言，系统输出能控性和状态能控性之间没有什么必然的联系，即,输出,能,控不一定状态,能,控，状态,能,控不一定输出,能,控。,输出能控性矩阵,或者说：该矩阵的秩等于该,矩阵的行数，即行满秩,30,4.1 线性定常连续系统的能控性,例4.8,判断下列系统的状态及输出能控性。,解：,（1）状态能控性判别矩阵,，故,状态不能控,。,（2）输出,能,控性判别矩阵,，所以,系统输出能控,。,结论：,系统输出能控，但不是状态能控的。,即使系统状态能控，也可能输出不能控。,31,4.1 线性定常连续系统的能控性,本节的小结,1、能控、能观问题的含义,2、状态能控性、状态能达性及输出能控性的定义,3、各种能控性判据（注意条件限制，灵活应用）,能控性判别准则有两类:,(,1)先将系统进行状态变换，把状态方程化,为对角或约当标准型 ，再根据,阵确定系统的能控性；,(2)直接根据状态方程的A阵和B阵确定其能控性。,4、输出能控的定义及判据,32,4.2,线性定常连续系统的能观测性,本节主要内容,能观性定义,能观性判据,在实际工程实践中，往往需要知道状态变量，,但状态变量未必都可以从外部观测到！,1、检测手段的限制；,2、一些状态变量不是物理量。,但输出变量总是可以获取和测量的。,问题：,能否通过输入输出信息来了解系统内部的状态？,能观性问题,33,4.2,线性定常连续系统的能观测性,一、,能观测性定义,（可观性）,表示的是输出反映状态矢量的能力，与控制输入没有直接的关系,设线性定常连续系统的状态方程和输,出方程为：,如果对于任一给定的输入 ，存在一有限观测时间 ，使得在 期间的输出 能唯一地确定系统,初始状态,，则称此系统,状态完全能观测,的，简称,系统是能观的,。,能观性：y(t)x(t),输出方程,34,即，对任意给定u(t)，在内输出,y(t)可唯一确定系统的初态 x()，,则系统是,完全能观测,的。,y x(),另：,y x(),确定,确定,4.2,线性定常连续系统的能观测性,能观,能检,不能观状态的物理意义！在输出中反映不出初始状态。,换言之，,不能观,：非零初始状态x,0,产生的输出响应恒为零。,能观,：系统初始状态信息可以在输出中反映。,对任意给定u(t)，如果根据 内的输出y(t)可唯一确,定任意指定的系统状态 x()，则称系统是,完全能检测,的。,两者等价,35,4.2,线性定常连续系统的能观测性,1）、能观性表示的是输出 反映状态矢量 的能力，,由于控制作用所引起的输出是可以算出的，所以在,分析能观测问题时，可令 。,换言之，,系统的输入不改变系统的能观测性。,说明：,2)、将,能观性规定为对初始状态的确定,，是因为一旦确定,了初始状态，便可以根据给定的控制量（输入），利,用状态转移方程（第三章）：,求出各个瞬时的状态,。,36,4.2,线性定常连续系统的能观测性,二、能观性判据,1,、定理1,线性定常连续系统:,其状态完全能观的充分必要条件是：,由A、,C构成的能观性判别矩阵:,满秩,，即:。,能观性,矩阵,o,Q,1,n,C,CA,CA,-,=,M,37,证明：,设,38,这里：,要使y(t)x(0),确定,39,4.2,线性定常连续系统的能观测性,例4.9,判别下列系统的能观性,（1）,（2）,解：,（1）,故系统是不能观的。,（2）,故系统是能观的。,40,4.2,线性定常连续系统的能观测性,2、定理2,设线性定常连续系统：,A阵具有,互不相同,的特征值，则其状态完全,可观测的充分必要条件是系统经非奇异变换,后的对角标准型:,中的矩阵中,不含,元素全为零的,列,。,41,4.2,线性定常连续系统的能观测性,例4.10,判别系统可观测性,解：（1）系统能观测。,（2）系统不能观测。,