教学课件：第1课时-角平分线的性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,12.3,角的平分线的性质,第十二章 全等三角形,第,1,课时 角平分线的性质,学习目标,1.,通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理,.,（难点）,2.,能运用角的平分线性质解决简单的几何问题,.,（重点）,挑战第一关 情境引入,问题,1,：,在纸上,画一个角，你能得到这个角的平分,线吗？,导入新课,用量角器度量，也可用折纸的方法,问题,2,：,如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？,提炼图形,问题,3,：,如图，是一个角平分仪，其中,AB,=,AD,BC,=,DC,.,将点,A,放在角的顶点,AB,和,AD,沿着角的两边放下,沿,AC,画一条射线,AE,AE,就是角平分线，你能说明它的道理吗,?,A,B,C,(,E,),D,其依据是,SSS,，两全等三角形的,对应角相等,.,挑战第二关 探索新知,问题：,如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗？,A,B,O,尺规作角平分线,一,做一做：,请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系,.,提示：,(1),已知什么？求作什么？,(2),把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢,?,(3),在平分角的仪器中，,BC=DC,，怎样在作图中体现这个过程呢？,(4),你能说明为什么,OC,是,AOB,的平分线吗？,A,B,M,N,C,O,已知,:,AOB,.,求作：,AOB,的平分线,.,仔细观察步骤,作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握噢,!,作法：,（,1,）以点,O,为圆心，适当,长为半径画弧，交,OA,于,点,M,，交,OB,于点,N,.,（,2,）分别以点,MN,为圆心，大于,MN,的长为半径画弧，两弧在,AOB,的内部相交于点,C,.,（,3,）画射线,OC,.,射线,OC,即为所求,.,已知：平角,AOB,.,求作：平角,AOB,的角平分线,.,结论：,作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法,.,A,B,O,C,1.,操作测量,：取点,P,的三个不同的位置，分别过点,P,作,PDOA,，,PE OB,点,D,、,E,为垂足，测量,PD,、,PE,的长,.,将三次数据填入下表：,2.,观察测量结果，猜想线段,PD,与,PE,的大小关系，写出结：,_,C,O,B,A,PD=PE,p,D,E,实验：,OC,是,AOB,的平分线，点,P,是射线,OC,上的,任意一点,猜想：,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,.,角平分线的性质,二,验证猜想,已知：如图，,AOC,=,BOC,点,P,在,OC,上，,PD,OA,PE,OB,垂足分别为,D,E,.,求证：,PD=PE,.,P,A,O,B,C,D,E,证明：,PD,OA,PE,OB,，,PDO,=,PEO,=90.,在,PDO,和,PEO,中，,PDO,=,PEO,，,AOC=BOC,，,OP=OP,，,PDO,PEO,(AAS).,PD=PE,.,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即,1.,明确命题中的已知和求证；,2.,根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；,3.,经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程,.,方法归纳,性质定理：,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,.,应用所具备的条件：,（,1,）,角的平分线；,（,2,）,点在该平分线上；,（,3,）,垂直距离,.,定理的作用：,证明线段相等,.,应用格式：,OP,是,AOB,的平分线，,PD=PE,推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个,.,知识要点,PD,OA,PE,OB,，,B,A,D,O,P,E,C,判一判：,（,1,）,如下左图，,AD,平分,BAC,（,已知），,=,，,(),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等,BD CD,B,A,D,C,(2),如上右图,，,DC,AC,，,DB,AB,（已知）,.,=,(),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等,BD CD,B,A,D,C,例,1,：,已知：如图，在,ABC,中，,AD,是它的角平分线，且,BD=CD,DE,AB,DF,AC,.,垂足分别为,E,F,.,求证：,EB=FC,.,A,B,C,D,E,F,证明：,AD,是,BAC,的角平分线，,DE,AB,DF,AC,，,DE=DF,DEB=DFC,=90.,在,Rt,BDE,和,Rt,CDF,中，,DE=DF,，,BD=C,D,，,Rt,BDE,Rt,CDF,(HL).,EB=FC,.,典例精析,例,2,:,如图，,AM,是,BAC,的平分线，点,P,在,AM,上，,PDAB，PEAC，,垂足分别是,D,、,E，PD=4cm，,则,PE=_cm.,B,A,C,P,M,D,E,4,温馨提示：,存在两条垂线段直接应用,典例精析,A,B,C,P,变式：,如,图，在,Rt,ABC中，AC=BC,C90,，AP平分BAC交BC于点P，若PC4,AB=14.,（1）则点P到AB的距离为_.,D,4,温馨提示：,存在一条垂线段构造应用,A,B,C,P,变式：,如图，在,Rt,ABC中，AC=BC,C90,0,，AP平分BAC交BC于点P，若PC4，,AB=14.,（,2,）求,APB,的面积,.,D,（,3,）求PDB的周长,.,AB,P,D,=28.,由垂直平分线的性质，可知，,PD=PC=4,，,=,1.,应用角平分线性质：,存在,角平分线,涉及,距离问题,2,.,联系角平分线性质：,面积,周长,条件,知识与方法,利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解,当堂练习,2.,ABC,中,C=90,AD,平分,CAB,且,BC,=8,BD,=5,则,点,D,到,AB,的距离是,.,A,B,C,D,3,E,1.,如图，,DE,AB,，,DF,BG,，,垂足分别是,E,，,F,，,DE=DF,，,EDB,=60,，,则,EBF,=,度，,BE,=,.,60,BF,E,B,D,F,A,C,G,3.,用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明,AOC,=,BOC,的依据是（）,A.SSS B.ASA,C.AAS D.,角平分线上的点到角两边的距离相等,A,B,M,N,C,O,A,4.,如图，AD是ABC的角平分线，DEAB，垂足为E，S,ABC,7，DE2，AB4，则AC的长是(),A6 B5 C4 D3,D,B,C,E,A,D,解析：,过点,D,作,DFAC,于,F,，,AD,是,ABC,的角平分线，,DEAB,，,DF,DE,2,，,解得,AC,3.,F,方法总结：,利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法,E,D,C,B,A,6,8,10,5.在RtABC中，BD平分ABC，DEAB于E，则：,(1)哪条线段与DE相等？为什么？,(2)若AB10，BC8，AC6，求BE，AE的长和AED的周长.,解：,(1),DC=DE.,理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等,.,（,2,）在,Rt,CDB,和,Rt,EDB,中，,DC,=,DE,，,DB,=,DB,，,Rt,CDB,Rt,EDB,(HL),，,BE,BC=,8.,AE,AB-BE=,2.,AED,的周长,=,AE+ED+DA=,2+6=8.,6.,如图，已知,AD,BC,，,P,是,BAD,与,ABC,的平分线的交点，,PE,AB,于,E,，且,PE,=3,，求,AD,与,BC,之间的距离,.,解：过点,P,作,MN,AD,于点,M,，交,BC,于点,N,.,AD,BC,，,MN,BC,，,MN,的长即为,AD,与,BC,之间,的距离,.,AP,平分,BAD,PM,AD,PE,AB,，,PM,=,PE.,同理，,PN,=,PE.,PM,=,PN,=,PE=,3,.,MN=,6.,即,AD,与,BC,之间的距离为,6.,7.,如图所示，D是ACG的平分线上的一点DEAC，DFCG，垂足分别为E，F.求证：CECF.,证明：,CD,是,ACG,的平分线，,DE,AC,，,DF,CG,，,DE,DF,.,在,Rt,CDE,和,Rt,CDF,中，,Rt,CDE,Rt,CDF,(HL),，,CE,CF,.,课堂小结,角平分线,尺规作图,属于基本作图，必须熟练掌握,性质定理,一个点：,角平分线上的点；,二距离：,点到角两边的距离；,两相等：,两条垂线段相等,辅助线,添加,过角平分线上一点向两边作垂线段,