连续时间系统的系统函数

信号与系统,第六章 连续时间系统的系统函数,南京航空航天大学 电子信息工程学院 信息与通信工程系,吴迪 讲师,6.1引言,系统函数（转移函数）,H(s),，定义为系统零状态响应象函数,R(s),与激励的象函数,E(s),之比。它是由系统,本身决定的，而与其输入、输出并没有关系。它是反映系统特性的重要函数。,若系统稳定 ：,主要内容,系统函数的表示法,(,极零点表示,),系统函数极点、零点与系统频率特性的关系,系统的稳定性,6.2 系统函数的表示法,一线性非时变系统可用线性常系数微分方程表示，所以,H(s),的一般形式可表示为：,这种形式不能直观地看出系统的特性，所以，常根据不同的需要用图示的方法来表示，常用的有三种：,1、频率特性,若系统是稳定的，则：,例如：,RLC,并联电路,当,:,- - ,0, 0 ,0, , :, 0 0 - ,2、复轨迹,将,H(j),写成实部和虚部的形式：,H(j)=U()+jV(),以为,U(),横坐标，,V(),为纵坐标,作出的图称为,复轨迹,。,上例中,当,:,- - 0 0 0 , :, 0 0 - ,复轨迹顺时针方向重复两次。,3、极零点表示,可见一个系统的极点零点确定后，系统函数就基本确定了。若再确定,H,0,，则,H(s),就完全确定。但,H,0,为常数与变量,s,无关,，仅是一个比例因子而已。,我们还是以,RLC,并联电路为例将,j,换成,s,6.3 系统函数极点和零点的分布,极点、零点或位于,s,平面的实轴上，或以一对共轭复根的形式出现，或是,r,阶重根（也称,r,阶,极点或零点），总之它们是对称于实轴的。,1、系统函数一般有,n,个,有限,极点和,m,个,有限,零点；,4、极、零点数目相等；,5、稳定系统的极点必位于左半平面，虚轴上可有一阶极点存在；,6、两个特殊的点,s=0，s=,根据复变函数理论，认为它们是在虚轴上的，因此系统稳定在,s=0，s=,只能有一阶极点，即：若,mn,则,m-n1,。,7、虽然系统函数对零点没有限制,（只要对称于实轴），但在网络理论中，阻抗和导纳互为倒数，因此，对于这种情况对零点的限制与极点相同。,6.4 系统函数极点、零点与系统频率特性的关系,一、,H(s),的矢量表示,其中的,s，z，p,都可用矢量表示，进一步,(s-z)，(s-p),也可表示为矢量。,对于稳定的系统：,显然,(j-z),，,(j-p),也是可以表示为矢量的，将它们表示为模和复角的形式：,H(j),可写为：,当,沿虚轴变化时,|H(j)|，(),也随之变化。因此，由系统函数的矢量图可以估计出系统的幅频特性和相频特性曲线。,例：系统函数的极、零点分布如图所示，估计其幅频与相频特性曲线。,解：,1,、=0,+,B,1,=0 , H(j)|=0,;,(,1,+,2,)=0,()=90,2、,B1,A2,A1,|H(j)|,(1+2),(),3、,Im(p,1,), A,1,Min,|H(j)|,出现峰值。,Im(p,1,) ,1,0,(),迅速减小。,同理,零点的虚部时,|H(j)|,出现谷点，,(),迅速,增大,4、,Im(p1) ,时，,A,1,A,2,B,1, |H(j)| 0,1,2,90, ()=-(,1,+,2,) -90,下面我们再来看一下前面的并联谐振电路。,我们已经求出：,再从系统函数的极零点分布来考察：,前面已求得：,于是我们可以作出它的极点、零点分布图，并根据前面的例子可作出其幅频和相频曲线的略图。,对照两图不难得出如下结论：,曲线形状相同。,但极值点出现在,处，与原图不符，因此称略图。,越接近于,0,（极点越靠近虚轴）越准确。,当,=0,（系统为纯电抗网络，无损耗）,零点时，,|,H(j,)| 0,；,极点时，,|,H(j,)| ,在零点、极点附近,(,),则会出现,180,的跃变。,二、全通网络,稳定系统的极点不能在右半平面，但零点可在右半平面。如果极点零点关于虚轴镜象对称，则,|H(j)|=H,0,（常数）于频率无关，称全通网络。,如图所示，画出了有两个极点和两个零点的网络，显然,A,1,=B,1, A,2,=B,2,，所以，,|H(j)|=H,0,（常数）。,还可以看出：,这种网络的幅频特性与频率无关为常数，而相位与频率有关，因此常作为相位效正电路使用。,三、最小相移网络,全部极点和零点位于左半平面（包括虚轴）称,最小相移网络,，否则为,非最小相移网络,。最小相移网络的相位变化量要比非最小相移网络的相位变化量小，因此得名 。,6.6 系统的稳定性,关于系统稳定性的问题，同学们并不陌生我们已多次提到。因为，不稳定的系统不能有效地工作，所以，设计一个系统一般都希望系统是稳定的。这样判别一个系统是否稳定就成为一个设计者必须考虑的问题。本节首先讨论系统稳定的充分必要条件，然后进一步介绍线性非时变系统稳定的判别方法。,一、系统的稳定及其充分必要条件,1、系统的稳定与冲激响应,2、系统的稳定与系统函数,H(s),H(s),的所有极点在,s,平面的左半平面则系统稳定；在虚轴上有一阶极点则临界稳定；在,s,平面的右半平面有极点存在则不稳定。,3、系统稳定的充分必要条件,所谓系统稳定是指有限（有界）的激励只能产生有限（有界）的响应的系统。有限的激励也包括激励为零的情况。,用数学式子表达：,若激励,|e(t)|M,e,-,t,则响应,|r(t)|M,r,-,t,其中,M,e,，M,r,为有限的正实数。,有前面的讨论我们可以直观地看到要系统稳定必须,h(t),绝对,可积。,可以证明，它不仅是必要条件还是充分条件。,如果,h(t),不绝对可积必引起系统的不稳定，所以，必须满足,4、渐近稳定与临界稳定,h(t),绝对,可积，应满足,h(t),可允许有孤立的冲激函数存在，除此之外,h(t),也应是有限的，即：,满足上述条件的系统称,渐近稳定,。,另一种情况是,H(s),在虚轴上有一阶极点，是理想化的无耗系统，例如纯,LC,网络，其冲激响应,h(t),为直流或等幅的正弦振荡，显然是不满足绝对可积条件的。但响应是有限的，并且这种系统是常见的低耗无源系统的近似，我们也把它看成是稳定的。为了区别于渐近稳定把这种情况称为,临界稳定,。,5、反馈系统,在自动控制理论中反馈系统是一种很重要的系统，是指将输出或部分输出反向馈送到输入端。因此这种系统的输出不仅与输入激励有关还与输出本身有关。例如晶体管收音机中的自动增益控制（AGC）电路就是一种反馈系统。下面是一个反馈系统简化了的框图：,容易看出各信号之间的关系为：,所以反馈系统总的转移函数为：,其中：,G(s)H(s),称开环转移函数，要判定反馈系统是否渐近稳定就要看,1+G(s)H(s)=0,的根（即系统特征方程的根）的实部是否全为负。,二、罗斯霍维茨（RouthHurwitz）判据,上面已经指出判定系统是否渐近稳定要看系统特征方程的根（系统函数的极点）的实部是否全部具有负实部。,系统的特征方程可写为：,设它有,n,个根为,p,1,p,2,p,n,那么上式可写为：,如果所有根的实部为负，我们可以得出以下结论：,1、多项式各系数均为同号，且不为零；,2、若,a,0,=0,而其它系数不为零，则有一个根为零系统为临界稳定；,3、若全部偶次项或奇次项的系数为零，这是所有根的实部为零,，所有根在虚轴上的必要条件，如果是单阶的系统也属临界稳定。,所以在特征多项式中系数不同号或有缺项，立即就可判定它有实部为非负的根，因而系统不稳定或临界稳定。,但反之不成立！（必要条件）,例如：系统的特征方程为,虽然系数同号且没有缺项，但我们不能得出系统稳定的结论。因为可以求得它的 三个根：,显然系统不稳定。对于这种情况要用下面介绍得罗斯判据来判别。,1、将特征多项式的系数按如下规律排成两行：,2、以这两行为基础，计算并构成如下的数值表：该表称,罗斯霍维茨阵列,表中的前两行就是第一步中由系数多项式排成的两行。即,其它各元素可由下列递推公式求得：,这样可得到,n+1,行，其中的第一列,构成的数列称,罗斯霍维茨数列,。,3、计算罗斯霍维茨数列中的符号变化次数，变化次数就等于实部为正的根的个数。,s,3,2,1,0,s,2,1,6,0,s,1,-11,0,s,0,6,0,因此，有两个实部为正的根。,s,4,1,2,3,s,3,1,2,0,s,2,0(),3,0,s,1,2-(3/),0,s,0,3,0,s,5,1,3,2,s,4,1,3,2,s,3,0,0,0,s,2,当计算到第三行时全为,0,，无法继续计算。处理方法是用上一行的系数构成辅助多项式,然后求导,以,4，6,代替全零的行继续计算。,s,5,1,3,2,s,4,1,3,2,s,3,4,6,0,s,2,3/2,2,s,1,2/3,0,s,0,2,0,无符号变化，说明没有实部为正的根。,我们注意到本例中第一第二行的元素相同，这正是使第三行的元素全为,0,的原因。显然如果第一第二行的元素成比例也将使第三行的元素全为,0,。所以处理方法相同。,容易看出辅助多项式为原多项式的一个因子，而辅助多项式只有偶次项，所以它有实部为,0,的根。因此，本例应为临界稳定。,s,3,1,4,0,s,2,5,K,0,s,1,(20-K)/5,0,0,s,0,K,0,要系统稳定，则：,