数学文化第一讲：数学的本质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学文化,主讲 张新全,什么是数学？,为什么学习数学？,开设,数学文化,的目的和意义,主要内容：,数学的本质,数学美学,数学与人的发展,数学与其它,一、,数学研究对象的历史考察,从数学发展的每个历史时期，人们在实践中，对数学研究对象的发现与认识，来加以考察。,数学，作为一门科学，它来源于人类社会实践，并促进人类社会实践，也随着人类社会的进步而发展。,1.,数学萌芽时期,(,远古公元前,6,世纪,),2.,常量数学时期,(,公元前,6,世纪公元,17,世纪,),3.,变量数学时期,(17,世纪,19,世纪,),4.,近现代数学时期,(19,世纪以后,),第一讲 数学的本质,1.,数学萌芽时期,(,远古公元前,6,世纪,),特点：,零零星星地认识了数学中最古老、原始的概念,“,数,”,(,自然数,),和,“,形,”,(,简单几何图形,),。,数的概念起源于,数,(,读,sh),，,脚趾和手指记数,、,“,结绳记数,”,等；,另一方面，人类还在采集果实、打造石器、烧土制陶的活动中，对各种物体加以比较，区分直曲方圆，逐渐形成了,“,形,”,的概念。,2.,常量数学时期,(,公元前,6,世纪公元,17,世纪,),特点：,人们将零星的数学知识，进行了积累、归纳、系统化，采用逻辑演绎的方法形成了,古典初等数学,的体系。,欧几里得（,Euclid,）：,几何原本,以空间形式为研究对象，以逻辑思维为主线，从,5,条公设、,23,个定义和,5,条公理推出了,467,条定理，从而建立了公理化演绎体系。,我国东汉时期：,九章算术,由,246,个数学问题、答案和术文组成，全书主要研究对象是数量关系。,3.,变量数学时期,(17,世纪,19,世纪,),特点：,“,运动,”,成为自然科学研究的中心课题，数学由研究现实世界的相对静止的事物或现象进而探索运动变化的规律，,常量数学,已发展到,变量数学,。,17,世纪，笛,卡尔,（,Descartes,）将几何内容的课题与代数形式的方法相结合，产生了,解析几何学,，这标志着变量数学时期的开始。,17,世纪,60,年代，,Newton,和,Leibniz,各自从运动学和几何学研究的需要，创建了,微积分,。随后，相继建立了,级数理论、微分方程论、变分学,等分析学领域的各个分支。,3.,变量数学时期,(17,世纪,19,世纪,),15,世纪,18,世纪，人们还研究了大量的随机现象，发现存在着某种完全不确定规律性，建立了,概率论,。这个时期，数学的研究对象已由常量进入变量，由有限进入无限，由确定性进入非确定性；数学研究的基本方法也由传统的,几何演绎方法转变为算术、代数的分析方法,。马克思主义奠基人之一的,恩格斯，,在考察了,18,世纪前整个数学发展的历史基础上指出：,“,数和形的概念不是从任何地方得来的，而仅仅是从现实世界中得来的,”,、,“,纯数学是以现实世界的空间形式和数量关系,这是非常现实的材料,为对象的,”,，这些论断揭示了科学的数学本质。,4.,近现代数学时期,(19,世纪以后,),特点：数学由研究现实世界的一般抽象形式和关系，进入到研究更抽象、更一般的形式和关系，数学各分支互相渗透融合。随着计算机的出现和日益普及，数学愈来愈显示出,科学和技术的双重品质。,19,世纪以来，由于社会发展的需要，以及数学自身的逻辑矛盾不断产生许多新问题，促使处于数学核心部分的几个主要分支,代数、几何、分析学科的内容发生了深刻变化，并产生了许多新的数学分支。,抽象代数学 、,n,维空间、无穷维空间以至于更抽象的空间 、,Cantor,集合论泛函分析等。,4.,近现代数学时期,(19,世纪以后,),20,世纪以来，数学的发展更是迅猛异常，产生了,“,优选学,”,、,“,规划论,”,、,“,对策论,”,、,“,排队论,”,、,“,计算机理论,等等，尤其是第二次世界大战以后，由于科学技术和工程技术上的计算问题的越来越复杂，需要高速、准确地计算许多非线性的、多维的，或为方程组形式的数学问题，为此电子计算机应运而生。随着计算机的出现，与高新科技紧密相关的数学理论，如,控制论、突变论、拓扑稳定性和大范围分析,等理论也随之产生。今日的数学不仅是一门独立的科学，而且是一种普遍性的技术，它,“,兼有科学和技术的两种品质,”,。,显然，现代数学的许多分支的研究对象，远远突破了传统的,“,空间形式,”,和,“,数量关系,”,的范围。,二、数学是什么科学？,数学本质的另一个问题：数学究竟是什么科学？是,演绎,科学，还是,经验,科学呢？或是,实验归纳,科学呢？由于人们从不同的角度来认识，因而对这个问题有着不同的看法,1.,数学科学的几种论述：,（,1,）,从数学所从属的工作领域来看：,在,17,世纪以前,，毕达哥拉斯（,Pytnagoras,）学派的数学观占据了统治地位，他们认为,“,数是一切事物的本质，整个有规律的宇宙的组织，就是数以及数的关系的和谐系统,”,，,Galieo,说得更明白：,“,大自然乃至整个宇宙这本书都是用数学语言写出的,”,。依他们看来，科学的本质就是数学，世界是数学的描述形式，这一时期数学成了,科学的,“,皇后,”,；,到了,17,世纪,，数学家,Alembert,把数学划归在自然科学之内，确认它是自然科学的一个门类，数学再不被认为是科学的,“,皇后,”,，而是,科学的,“,仆人,”,，是自然科学的工具。直到,20,世纪,80,年代末,，我国杰出的科学家,钱学森,明确提出，,“,数学应该与自然科学和社会科学并列,”,，成为现代科学技术的自然科学、社会科学、数学科学、思维科学、系统科学、人体科学、军事科学、文艺理论、地理科学等十大门类的一大门类，他主张,“,数学应该称为,数学科学,”,。,（,2,）从研究数学的方法来看：,匈牙利数理逻辑学家卡尔马认为,“,数学是一门有经验根据的科学,”,；,著名的科学哲学家,Lakatos,认为,“,数学是既含有经验成分又含有理性成分的一种非封闭的演绎系统,拟经验的体系,”,；,美籍匈牙利数学家、数学教育家,G.Polya,认为,“,用欧几里得方法提出来的数学看来却像是一门系统的演绎科学；但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学,”,。,可见从数学真理的发现或发明的无数事实来看，它是通过大量实验、归纳而得以发现，进而通过演绎推理而证明它的可靠性和真实性。因此，,数学具有两重性，它既是一门系统的演绎科学,(,从最后被确定的定型的数学来看,),，又是一门实验性的归纳科学,(,从创造过程中的数学来看,),（,3,）,从数学对象来看,数学家,Descarte,把数学称作,“,序的科学,”,；物理学家,Weinberg,把数学看作是,“,模式与关系,”,的科学，如像生物是有机体的科学，物理是物和能的科学一样，,“,数学是模式的科学,”,；如果把数学看作是一种语言，它又可认为,“,是,描述模式的语言,”,。随着现代数学的创立与发展，人们对,数学的本质,的认识逐步深化，在当今数学哲学界流行一些新颖和较成熟的数学哲学观点,.,2.,数学是模式的科学,现代汉语词典,里，对模式的解释是指,“,某种事物的标准形式,”,，这种标准形式是通过,抽象、概括,而产生的。,按照这种解释，数学的概念、理论、公式、定理和方法都可以看成是一种模式，显然它们又是一种数学抽象思维活动的产物，这种抽象不同于其它科学中的抽象。,首先,，在抽象的内容上，它仅仅保留了事物的量的特性，而舍去了它的质的内容；,其次,，在抽象的度量上，数学中的概念，并非都是真实事物或现象的直接抽象的结果，而是在第一次抽象的基础上，进行多次的再抽象。换句话说，由概念引出概念，如正方形是由长方形引出的概念；,再次,，在抽象的方法上，它是一种,“,建构,”,的活动，也就是说，数学的对象是借助于明确的定义得到构造的，数学理论又是建立在逻辑演绎之上来展开的。,例,1,关于数学概念的模式,我们知道,“,1,”,这个数，是对一个人、一棵树、一间房等类事物的量的特性的刻画，是抽象思维的产物。实际上，在现实世界里并不存在作为数学研究对象的真正的,“,1,”,。又如，现实世界中，我们只看到圆形的十五的月亮，圆形的水池，圆形的车轮，而数学概念中的,“,圆,”,，则是这类事物的标准形式，反映了这类事物都具有的,“,到一个定点的距离等于定长,”,的量的特性。在高等数学中，我们知道瞬时速度可以看成是距离对时间的导数、电流是电量对时间的导数等，我们如果将距离、电量、曲线等一类事物都抽象成关于,x,的函数,f(x),，那么刻画函数的变化率这一普遍意义的现象，可以用,导数,这一标准形式,模式来表示，这样，我们把数学概念都可以看成是量化模式。,例,2,关于数学问题的模式,问题,1,下面的两个问题，我们如果从质的方面来看，显然是两个不同的问题，但若从量的属性角度来看，却是同一个标准形式,(1),某人有两套不同的西装和三条不同颜色的领带，问共有多少种搭配方法？,(2),有两个军官和三个士兵，现由一个军官和一个士兵组成巡逻队，问共有多少种组成方法？,这类问题，如果我们都舍去各自的质的内容，它们就可以抽象成下面的形式（图,1-1,）,问题,2,著名的,Euler,“,七桥问题,”,东普鲁士哥尼斯堡,(,原苏联加里宁格勒,),有一条布勒尔河，这条河有两条支流，在城中心汇合成大河，河中有一小岛，现有七座桥将它与陆地连接（图,1-2,）,1735,年左右，哥尼斯堡大学生傍晚散步时，总想一次走过七座桥，要求每座桥只准走一遍，试来试去总未成功，于是，他们写信求教瑞士的大数学家,Euler,，他用了几天时间反复思考、想象，终于在,1736,年解决了这个问题（图,1-3,）,他解决这个问题的优美之处，在于把问题,简单化、理想化,，,将问题中的,陆地和岛抽象成四个点,，,七座桥抽象成七条线,，,人们一次不重复地走过四块陆地和七座桥的问题，就化归,为能否,一笔画,成图,1,-,2,的问题了,-,“,线路拓扑学,”,的先驱工作,问题,3,六人集会问题,试证明六个人集会，总是有三个互相认识，或者有三个互相不认识。同样，我们也可以通过数学抽象，将这个实际问题，转化为纯数学的问题,建构一种模式，并对其进行研究。事实上，集会中的六个人，用平面上的六个点,A,1,，,A,2,，,A,3,，,A,4,，,A,5,，,A,6,来表示，每两人相识则用实线连接，不相识则用虚线连接，这样于是，原来的问题就转化为：证明在上述,15,条线段中，一定有某三条实线段或某三条虚线段构成一个三角形，这就成了一个纯数学问题，运用抽屉原则就得到要求的结论,。,上面三个问题，虽然都来自于现实世界的问题，且有不同的实际背景，但是每个问题经过抽象之后，,“,它们所反映的已不是某一特定事物或现象的量性特征，,而是一类事物或现象在量的方面的特性,”,。,像这样超越特殊对象而具有普遍意义的问题就是一种模式，即,量化模式,。,综上所述，数学的概念、命题,(,理论,),、公式、定理、问题和方法等等，事实上都是一种量化的模式，这样一来，,“,数学即是关于量化模式的建构与研究。,”,正如美国数学家,L.Steen,所说：,“,数学是模式的科学，数学家从数中、空间中、科学中和想象中寻找模式，数学理论阐明了模式间的关系。,”,“,数学是模式的科学,”,与,“,数学是量的科学,”,的定义相比，我们认为前者的界定比后者更为恰当，更为精确。这是因为前者的定义，不仅指出了数学的研究对象，而且指明了数学研究的思想方法，这就更明确了,数学的本质,。,3.,数学是一种文化体系,“,数学是一种文化体系,”,，是美国数学家、数学哲学家,Wilder,于,1981,年提出来的，这是长期以来提出的第一个成熟的数学哲学观。,数学何以是一种文化？,文化，从广义上讲是人类在社会历史发展过程中所创造的物质财富和精神财富的总和。简言之，由人类所创造的事物或对象，都可叫做文化。,数学研究的对象是现实世界的,空间形式和数量关系，,是现实世界一种量化模式。这种模式是由现实世界中的事物或现象，经过人的大脑抽象思维人为创造出的抽象模式，是,“,人类悟性的自由创造物,”,。它源于现实世界，又并非是现实世界的真实物。例如，在现实世界中，我们只看到了长方形的黑板，长方形的桌面，而现实世界中并不存在数学上所研究的真正,“,矩形,”,；同样，日常生活中我们只见到三张桌子，三棵树，三个人，又何时看到数学研究对象中的,“,3,”,呢？更不要说，虚数、四元数、超复数、向量空间、,n,维空间等,“,理想元素,”,，它们都可以看成是人类思维的自由创造物。正因如此，数学同各种艺术形式一样，是人类一种创造性活动的结果，是人类抽象思维的产物，从这个意义来讲，,数学是一种文化，而且是更高层次上的文化,从现代人类文化学的角度来讲，,文化又指的是,“,各个群体所特有的行为、观念和态度等。,”,换句话说，是各个群体所特有的,“,生活方式,”,。,中华民族的文化是儒家文化、道家文化、佛教文化逐渐演变而成的，而以儒家文化为主体，其核心是认识论和伦理说的统一，即所谓,“,仁智统一说,”,，,“,仁智统一，意味着人道,(,仁爱,),原则和理性原则的统一，伦理学和认识论的统一。,”,几千年来中华民族的生活方式和道德行为都遵循这一准则，也是中华民族的文化传统,在现代社会中，,数学家和数学教育工作者已形成了一个群体，称之为,“,数学共同体,”,。这个共同体的成员是以从事数学研究或数学教育，或两者兼之作为自己的职业的人。他们组成了自己的社会团体,数学会或数学教育研究会,。在这个共同体中的每个成员，有,“,共同的观念，共同的标准和行为模式，共同的方法和设想。,”,只有这样，他们的研究成果和教学业绩，才能得到数学共同体的承认，才得以在他们之间广泛交流和互相促进，从而推动数学和数学教育深入研究，以及成果的应用和普及。在数学发展的历史进程中，伴随产生和发展的数学共同体，也,逐渐形成了自己特有的生活方式,数学传统,。因此，作为数学共同体的独有的生活方式来讲，数学是一种文化。英国学者,Snow,指出,文化有两种：一种是人文文化；另一种是科学文化。而数学文化不同于艺术、技术一类的文化，它属于科学文化。,数学文化又为什么能构成一种独特的文化体系呢？,首先，数学发展至今，尽管分支众多，发展迅猛，但在数学发展的历史进程中，伴随而生并逐渐形成了一个,独具特色的统一的数学思想方法体系。,所谓数学思想方法，是指人们在认识或处理各种数学或非数学现象的思维过程中，所表现出来的种种数学观念及思维方式。,其认识的客体，包括数学研究的对象及其特性，研究途径与方法的特点，研究成果的精神文化价值及对现实世界的实际作用，内部各种成果或结论之间的相互关联和相互支持的关系等。,解析几何的发明，不仅仅是创建了一门新的数学分支，而更重要的是引起数学思想方法的重大变革，使得形与数、几何与代数统一起来，不但如此，还开拓了代数学、几何学新的研究领域，加速了微积分形成的历史进程。,一部数学思想方法变革史，也是人类思想文化史中极为重要的一部分。数学思想是人类思想文化宝库中的瑰宝。它不仅影响数学本身的发展，而且也影响着人类社会的其它的各个领域，尤其是科学技术和哲学。数学思想方法在它产生和形成的过程中，自始至终蕴含着一种理性主义的探索精神，这种精神激励人们,“,认识宇宙，也认识人类自己,”,。,其次，,“,文化是语言,(,一类的东西,),”,，文化依赖于语言而传播、保存。同样，数学文化也可以看成是,“,描述模式的语言,”,。数学语言如同数学对象一样来源于人类实践，它源于人类自然语言，随着数学抽象性和严格性发展，逐步演变成相对独立的数学语言体系。,数学语言体系是由一些符号和记号组成的语言体系，主要有文字语言、符号语言、图象语言三个部分。数学语言是人类语言的高级形式，它具有精确性、简洁性、以及形式化和符号化的特点。,再次，数学文化作为人类文化的子系统，有其特殊的,发展动力体系,。这个体系的主要力量有：环境力量、遗传力量以及符号、文化传播、抽象、一般化、一体化、多样化等等。,有的学者把数学的发展与生物的进化进行比较之后，认为上述各种力量，归纳起来就是,环境力量和遗传力量,，数学之所以能蓬勃地发展就是这两种力量共同作用的结果,。,环境力量,又称外部力量，主要来自于,生产实践和日常生活、科学研究的需要,，,遗传力量,又称内在力量或内驱动力，它主要是指,形成的数学文化,(,包括数学理论、数学问题、数学传统等等,),对数学发展的作用和影响。,数学发展的历史表明，往往是许多数学家对已研究出的数学理论，提出了种种不完善之处或研究工作的不足之点，以及存在的尚未解决的问题。这些数学内部的矛盾，驱使他们不断地对数学进行发现和发明创造。所以有的学者提出：,“,纯理性数学的发展动力之一，是,“,数学理论与数学审美标准之间，或数学美形态前后之间的矛盾。,”,正如著名数学家,Von,Neumann,所说：,“,我认为,数学家无论是选择题材还是判断成功的标准，主要地都是美学的。,”,因此，追求数学的,统一性、简洁性、奇异性、和谐性,等美的特性，往往是数学家致力于数学的发现和创造的一个十分重要的原因。,综上所述，数学文化作为人类文化体系中的一个重要组成部分，由于具有自己独特的,数学思想方法体系，数学语言体系和数学发展的动力体系,等，所以数学文化构成了不同于其它文化的一种,独特的文化体系,。,