解析函数的洛朗展式与孤立奇点

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点,1 解析函数的洛朗展式,2 解析函数的孤立奇点,3 解析函数在无穷远点的性质,4 整函数与亚纯函数的概念及,许瓦兹引理,定义 级数,称洛朗 级数, 称为 的系数.,对于点 ,如果级数,收敛于 ,且级数,1 解析函数的洛朗展式,收敛于 ,则称级数 在点 收敛,其和函数为,当 时, 即变为幂级数.,类似于幂级数,我们有,定理 设 在圆环 内解,析,则在 内,其中,且 ,系数 被 及 唯一确定.,称为 的洛朗展式.,证明：对 作 ,(其中 ),且使 ,由柯西积分公式,有,对于第一个积分,只要照抄泰勒定理证明中,的相应部分,即得：,其中,图5.1,对于第二个积分,当 时,(右边级数对于 是一致收敛),上式两边乘上 得：,右边级数对 仍一致收敛,沿 逐项积分,可得,其中,于是：,其中,下面证明展式唯一,若在H内 另有展开式,右边级数在 上一致收敛,两边乘上 得：,右边级数在 上仍一致收敛,沿 逐项积分,可得：,即展式是唯一的.,注：1)定理中的展式称为洛朗展开式,级数称为洛朗,级数. 称为洛朗系数.,2)泰勒展式是洛朗展式的特例.,例1求,在 中的洛朗展开式.,解：,此例子说明：同一个函数在不同的圆环内的洛朗展式,可能不同.,例2 求 及 在 内的洛朗展式,解,例3 求 在 内的洛朗展式,解,作业： 第217页 1 (1) (3), 2(1)(3),一 . 定义：,1设 在点 的某去心邻域内解析,但在点 不解析,则称 为 的孤立奇点.例如 以 为孤立奇点.,以 为奇点,但不是孤立奇点,是支点.,以 为奇点(又由 ,得 故,不是孤立奇点),2设 为 的孤立奇点,则 在 的某去心邻域内,有,称 为 在点 的主要部分,2 解析函数的孤立奇点,称 为 在点 的正则部分,当主要部分为0时,称 为 的可去奇点；,当主要部分为有限项时,设为,称 为 的m级极点；当主要部分为无限项时,称 为,本性奇点.,二判定,1可去奇点,定理5.3 设 为 的孤立奇点,则下列条件等价,(1) 为 的可去奇点,(2),(3) 在 的某去心邻域内有界.,证明：,设条件(1)成立,则在 的某一去心邻域内,有,显然成立.,设 在 的去心邻域 内以M为界,考虑 在点 的主要部分：,为可去奇点.,例：说明 是 的可去奇点,法一：,法二：,2. 极点,定理 设 为 的孤立奇点则下列条件等价：,(1) 为 的m级极点,(2) 在 的某去心邻域： 内可表示为,其中 在 内解析,且 .,(3) 从 为m级零点(可去奇点作为解析点看),证明：,设条件(1)成立,即 在 的某去心邻域内有：,( 为幂级数的和函数,故解析),其中 在 的某邻域内解析,且从,设条件(2)成立,即 在 的某去心邻域,内有 ,其中 满足已知的两个,条件.,由例知存在 ,使得在 内 .,故在 内 解析,且 .即 为 的m级零点.,设条件(3)成立,即 其中 在 的某,领域内解析,且 ,由 的例1.28知,使在 内 在 内解析.由 定理,在 内有,在 内有,作业： 第218-219页 4(1) (3) (5), 5(1) (3).,1. 基本概念,定义1：设 在 的去心领域 内解析.则称,点 为 的孤立奇点( 是任何函数的奇点).,如 ,以 为孤立奇点,但 以,为非孤立奇点.,定义2：设 为 的孤立奇点,令,若 为 的可去奇点(看作解析点).m,级极点.本性奇点,则相应地,称 是 的可去奇点,(解析点).m级极点,本性奇点.当 为 的可去奇点时,若 是 的m级零点,称 为 的m级零点.,3 解析函数在无穷远点的性质,定义3：设 为 的孤立奇点,则在 的去心领域内,有,称上式为 在点 的洛朗展式,并称 为,在 的主要部分. 为 在 的正则部分.,2. 结论：,命题1. 设 是 的孤立奇点,则 以 为可去奇点,主要部分0. 以 为m级极点 主要部分为,以 为本性奇点 主要部分有无穷多项.,命题2. 以 为m级零点 在 的去心领域内可表,示为 其中 在 的领域内解析,且 .,以 为m级零点 以 为m级零点.,其中 在 的领域内解析且 .,其中 在 点解析,(即 为可去奇点).,且 .,3. 主要定理：,定理5.3 设 为 的孤立奇点,则下面三个条件等价：,1) 为 的可去奇点, 2),3)在 的去心领域内有界.,定理5.4 设 为 的孤立奇点.则下面三个条件等价：,1) 以 为m级极点,2) 在 的去心领域内可表示为 其中 在,的领域内解析,且 .,3) 以 为m级零点.,定理5.5 的孤立奇点 为极点 .,定理5.6 的孤立奇点 为本性极点 不存在.,1. 整函数,定义4：在z平面上解析的函数称为整函数.,定理5.10 设 为整函数, ,则,1) 为 的奇点可去奇点,为 的,m,级极点,为 的本性奇点 有无穷多个,(,称为超越整函数,),2.,亚纯函数,定义,5,：在,Z,平面上除极点外无其他类型奇点的单值解,析函数称为亚纯函数：如,4整函数与亚纯函数的概念及许瓦兹引理,定理5.11 为有理函数 在扩充复平面上除了极点外无其他类型的奇点.,证： “ ” 设 ,其中 为互质的多项式,次,数分别为m,n.,a) 的点是 的极点.,b)当mn时, 是 的极点.,c)当mn时, 是 的可去奇点(解析点).,“ ” 若所设条件成立,则在扩充复平面上 的极点有,限个.若不然这些极点在扩充平面上必有聚点.它是函,数的非孤立奇点,与假设矛盾.,故可设 为 的极点,其级分别为 .,令,则 为整函数,且以 为极点或可去奇点,从而 为多,项式或常数.数 为有理数.,定义6：非有理数的亚纯函数叫超越亚纯函数：如,.,3. 许瓦兹引理：,引理：设 在 内解析,且 则,a) ,b) ,c)若 ,或 ,使,则,证明：由已知得：,令,则 在 内解析.,对 取 ,使 由最大模原理有：,令 得 ,特别地,即(b)成立,又若 ,由 ,得 ,即,以及 ,故对 ,有 ,即(a)成立.,几何意义：在引理条件下, 的象都比 本身,距坐标原,点要近.若有 , 的象与 本身距原点的距离相等,则,变换仅仅是一个旋转.,作业： 第219页6, 7, 8 (1) (3).,