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Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,均 值 不 等 式,基本不等式,均值,不等式及应用,一、均值不等式,均值定理：,当且仅当,a=b,时，式中等号成立。,两个正实数的,算术平均值大于,或等于它的几何平均值,或,称为它们的,几何平均数,称为正数,a,、,b,的,算术平均数,证明：,上述推导体现了数学中由一般到特殊的思想,问题,：,均值不等式,给出了两个,正实数的算术平均数与几何平均数的关系，这个不等式能否推广呢？例如，对于,3,个正数，会有怎样的不等式成立,呢？,(,前述称为基本均值不等式也称二元均值不等式,),类比思想应用,定理,3,三元均值不等式：,a,、,b,、,cN*,当且仅当,a=b=c,时，式中等号成立。,语言表述：,三个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值,同理三元均值不等式也可由 换元得到， 只要证明以下不等式成立：,证明,：,（证明需要用到的公式）,求差法证明,：,求差法是不等式证明常用的方法,二、均值不等式的推广,1,、四个均值不等式链,平方平均数 算数平均数 几何平均数 调和平均数,2,、,正数,a,1,a,2, ,a,n,(,多元均值不等式,),3,、,常见变式,三、均值不等式的应用,用不等式证明不等式,当两项之积为一个常数直接用均值不等式，用,a,、,b,代换两数（有积定直接用均值不等式）,当一个两项之积与另一个两项之积的积是个常数直接用均值不等式,a,、,b,代换每项内两数，再用不等式两边相乘的基本定理来解（积积定值直接用）,直接用三元均值不等式来解,练习,4,：,已知,:a,b,c,均为正数,求证,:,二项之积为一个常数直接用均值不等式,a,、,b,代换即可,.,技巧,（,构造法），当不等式左边含有元数时，我们采用构造不等式来证明，再不等式两边相乘或相加原理求解。,由基本不等式推出的几个常用构造不等式：,带常数不等式两边乘上,a,或,b,都可以构造带元数的不等式,证明,：,因为,所以：两边相加,利用带元数的构造不等式，构造出不等式左边各项所带元数，再利用不等式两边相乘或相加求解。,不等式分母和右边交换，构造不等式相加,二边,Xa,二边,Xb,二边,Xc,分子分母,Xa,分子分母,Xb,分子分母,Xc,用求差法证明例,4,：,求差法常用来证明不等式，一般需配项化为平方差的连加形式，因为,abc,都大于,0,，这种式子最终都大于,0,的,。,四、均值不等式的应用,求最值,两个,正数,的积为,常数,时，它们的和有最小值；,两个,正数,的和为,常数,时，它们的积有最大值。,均值不等式,即：积定和最小，和定积最大，可用于最值求解。,在求最值时必须强调的三个条件：一正，二定，三相等，缺一不可,注意：,”,一正二定三相等,”,是指利用均值不等式,证明或求最值必 须强调的三个特殊要求：,（,1,）一正,：各项都为正数（,a,、,b,0,，由,ab,做成的两项也需,0,）,（,2,）二定：,两项积,为定值，和有最小值,两项和,为定值，积有最大值,（,3,）三相等：求最值时一定要考虑不等式,是 否,能取“”,，取的值是否在已知的区间内，否则,会出现错误,注：用不等式证明和求最值是必须每步验证是否符合,ab,9,a+b,6,解：,例,6,、（,1,）一个矩形的面积为,100m,2,，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？,（,2,）已知矩形的周长为,36m,，问这个矩形的长宽各是多少时，它的面积最大？最大面积是多少？,解：设矩形长为,a,宽为,b,则,S=ab=100,，,L=2,（,a+b,）,因为,a+b =20,当且仅当,a=b=10,a+b=20,所以,L 40,，当,a=10,b=10,时,L,最短，为,40.,解：设矩形长为,a,宽为,b,则,S=ab,，,L=2,（,a+b,）,=36,因为,a+b =18,当且仅当,a=b=9,axb=81,所以,S 81,，当,a=9,b=9,时,S,最大，为,81.,例,6,解：,利用均值不等式求函数最值的步骤,:,练习,1),若,x0,f(x)=,的最小值为,_;,此时,x=_.,解,:,因为,x0,若,x,0),的单调性,.,5/2(x=0),三不等，改用“单调性”,变形,:,2,？,验证：一正,ab,二项,0,；二定二项之积为,1,；三相等,x+4=1,，,x=-3,无效。所以该题不能用不等式求最小值,练习,1,解答,练习,2,解答,例,1,:,解,:,构造三个数相 加等于定值,.,用三元均值不等式,求最值,A,、,6,B,、,C,、,9,D,、,12,（）,C,例,13,求函数 的最小值,小结：,利用均值不等式,求最值时注意：,2,、不能直接利用定理时,，,注意拆项、配项凑定值的技巧,1,、一正、二定、三相等；,缺一不可,（拆项时常拆成两个相同项）,。,阅读下题的各种解法是否正确，若有错，,指出有错误的地方。,五、错,题辨析,因为三不等,因为二不定,当且仅当,即,:,时取“,=”,号,正解,即此时,因为二不定,a,、,b R+,一正,二定,三相等符合已知条件,2,、求,函数,的,最小值下面甲,、,乙,、丙三为同学解法谁对？试说明理由,甲：由 知 ，则,(,错解原因,是,1/x=2/x,无法解等号取不到,),(,错解原因是,不满足积定,),丙：,构造三个数相 乘等于定值,.,注：拆项时一般拆成二个相同的项,一正,二定,三相等,2.,若,x,0,当,x,=,时,函数,有最,值,.,3.,若,x,4,函数,当,x,=,时,函数有最,值是,.,1.,若,x,0,当,x,=,时,函数 的最小值是,.,2/3,小,12,5,大,-6,练习题,4.,已知,则 的,最大值为,此时,x,=,.,5.,若,当,x,=,时,y,=,x,(5 2,x,),有最大值,.,6.,若,x,0,则 最大值为,.,3/4,1/2,5/4,25/8,变换为,3x(3-3x)*1/3,变换为,2x(5-2x)*1/2,六、一题多解,七,.,不等式万能,K,法,求最值,方法讲解：,方法讲解：,方法讲解：,方法讲解：,方法讲解：,方法讲解：,方法讲解：,方法讲解：,方法讲解：,
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