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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、原函数与不定积分的概念,四、不定积分的性质,三、基本积分表,五、小结 思考题,第一节 不定积分的概念与性质,二、不定积分的几何意义,例,定义：,一、原函数与不定积分的概念,( primitive function ),定义,原函数存在定理：,简言之：,连续函数一定有原函数,.,问题：,(1),原函数是否唯一？,例,（ 为任意常数）,(2),若不唯一它们之间有什么联系？,定理,关于原函数的说明：,（,1,）若 ，则对于任意常数 ，,（,2,）若 和 都是 的原函数，,则,（ 为任意常数）,证,（ 为任意常数）,任意常数,积分号,被积函数,不定积分,(,indefinite integral),的定义：,被积表达式,积分变量,定义,原函数,例,1,求,解,解,例,2,求,例,3,某商品的边际成本为,求总成,解,其中,为任意常数,本函数,.,二、不定积分的几何意义,显然，求不定积分得到一,积分曲线族,横坐标 处,任一曲线的切线有,相同的斜率,.,0,x,y,在同一,实例,启示,能否根据求导公式得出积分公式？,结论,既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式,.,三、 基本积分表,基本积分表,是常数,);,说明：,例,4,求积分,解,证,等式成立,.,（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）,四、 不定积分的性质,例,5,求积分,解,例,6,求积分,解,例,7,求积分,解,例,8,求积分,解,说明：,以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表,.,化积分为代数和的积分,解,所求曲线方程为,基本积分表（,1,）（,13,）,不定积分的性质,原函数的概念：,不定积分的概念：,求微分与求积分的互逆关系,五、 小结,思考题,符号函数,在 内是否存在原函数？为什么？,思考题解答,不存在,.,假设有原函数,故假设错误,所以 在 内不存在原函数,.,结论,每一个含有,第一类间断点,的函数都没有原函数,.,练习题,练习题答案,一、第一类换元法,二、第二类换元法,三、小结 思考题,第二节 换元积分法,问题,？,解决方法,利用复合函数，设置中间变量,.,过程,令,一、第一类换元法,在一般情况下：,设,则,如果,（可微）,由此可得换元法定理,第一类换元公式,（,凑微分法,）,说明,使用此公式的关键在于将,化为,注意：观察点不同，所得结论不同,.,定理,1,定理,解,法,1,解,法,2,解,法,3,例,1,求,解,一般地,例,1,求,又解,凑 微 分,例,2,求,解,例,3,求,解,例,4,求,利用基本积分表的公式把被积函数中的一部分凑成,中间变量的微分，常见的有：,例,5,求,解,例,6,求,解,例,7,求,解,例,8,求,解,例,9,求,解,（一）,解,（二）,类似地可推出,例,10,求,解,例,11,求,解,例,12,求,原式,例,13,求,解,降幂,拆项,例,14,求,解,例,15,求,解,例,16,求,解,例,17,求,解,例,18,求,解,问题,解决方法,改变中间变量的设置方法,.,过程,令,（应用“凑微分”即可求出结果）,二、第二类换元法,证,设 为 的原函数,令,则,则有换元公式,定理,2,第二类积分换元公式,例,19,求,解法一,第一类换元法,解法二,第二类换元法,例,20,求,解,令,例,21,求,解,令,解,令,例,21,求,说明,(1),以上几例所使用的均为,三角代换,.,三角代换的,目的,是化掉根式,.,一般规律如下：当被积函数中含有,可令,可令,可令,积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定,.,说明,(2),例,22,求,（三角代换很繁琐）,令,解,说明,(3),当分母的阶较高时,可采用,倒代换,例,23,求,令,解,例,24,求,解,令,（分母的阶较高）,说明,(4),当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，可采用令 （其中 为各根指数的,最小公倍数,）,例,25,求,解,令,例,26,求积分,解,令,注意,无理函数去根号时,取根指数的,最小公倍数,.,例,27,求积分,解,令,说明,(5),当被积函数含有,例,28,求,解,令,说明,(6),当被积函数含有,例,29,求,解,说明,(7),无理函数的积分方法要会用会选,例,基本积分表,三、小结,两类积分换元法：,（一）,凑微分,（二）,三角代换、倒代换、根式代换,基本积分表,(14),（,22,）,思考题,求积分,思考题解答,练 习 题,练习题答案,一、基本内容,二、小结,三、思考题,第三节 分部积分法,问题,解决思路,利用两个函数乘积的求导法则,.,分部积分,(integration by parts),公式,一、基本内容,例,1,求积分,解（一）,令,显然，,选择不当,，积分更难进行,.,解（二）,令,例,2,求积分,解,（再次使用分部积分法）,总结,若被积函数是幂函数和正,(,余,),弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为,使其降幂一次,(,假定幂指数是正整数,),例,3,求积分,解,令,例,4,求积分,解,总结,若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为,.,例,5,求积分,解,例,6,求积分,解,注意循环形式,例,7,求积分,解,令,解,两边同时对 求导,得,合理选择 ，正确使用分部积分公式,二、小结,思考题,在接连几次应用分部积分公式时， 应注意什么？,思考题解答,注意前后几次所选的 应为同类型函数,.,例,第一次时若选,第二次时仍应选,练 习 题,练习题答案,一、六个基本积分,二、待定系数法举例,三、小结,第四节 有理函数的积分,有理函数的定义：,两个多项式的商表示的函数称之为,有理函数,.,一、六个基本积分,定义,假定分子与分母之间没有公因式,这有理函数是,真分式,；,这有理函数是,假分式,；,利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和,.,例,难点,将有理函数化为部分分式之和,.,理论上，,任何一个有理函数,(,真分式,),都可分为以下六个类型的基本积分的代数和,:,1,.,2.,3.,4,.,5,.,6,.,可用递推法求出,（,1,）分母中若有因式 ，则分解后为,有理函数化为部分分式之和的一般规律：,特殊地：,分解后为,二、待定系数法举例,（,2,）分母中若有因式 ，其中,则分解后为,特殊地：,分解后为,真分式化为部分分式之和的,待定系数法,例,1,代入特殊值来确定系数,取,取,取,并将 值代入,例,2,例,3,整理得,例,4,求积分,解,例,5,求积分,解,例,6,求积分,解,令,说明,将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：,多项式；,讨论积分,令,则,记,这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数,.,结论：,有理函数都可积，且积分结果可能的形式为有理函数、反正切函数、对数函数及它们之间的组合。,有理式分解成部分分式之和的积分,.,（注意：必须化成真分式）,三、小结,思考题,任何有理函数都有原函数吗？,任何初等函数都有原函数吗？,都能求出其原函数吗？,思考题解答,任何有理函数都有初等原函数，任何初等函数在其连续区间内也有原函数，但并不是所有连续的初等函数都有初等原函数，如：,即有些初等函数是不可积的。,练习题,4.,有理函数的原函数都是,_ .,练习题答案,
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