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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学物理方法,第十章 球函数,球函数,轴对称问题和勒让德多项式,转动对称问题和连带勒让德函数,一般问题和球函数,本章小结,轴对称问题和勒让德多项式,轴对称拉普拉斯方程的求解,勒让德多项式,勒让德多项式的母函数和递推公式,勒让德多项式的性质,勒让德多项式的应用,轴对称拉普拉斯方程的求解,勒让德多项式,定义,一般表示,具体形式,级数表示,微分表示,积分表示,代数表达式,图象,勒让德多项式的代数表达式,勒让德多项式的图象,勒让德多项式的图象,母函数和递推公式,母函数,定义:u(x,r)=P,l,(x)r,l,形式:u(x,r)=(12rx+r,2,),-1/2,推导,应用,递推公式,基本递推公式,证明,应用,母函数的推导,母函数的应用,基本递推公式,递推公式的证明,递推公式的应用,勒让德多项式的性质,奇偶性,P,l,(-x)=(-1),l,P,l,(x),零点定理,L阶勒让德多项式为L次多项式,有L个零点。,正交性,正交性公式,模,正交性应用例题,完备性,完备性公式,广义傅立叶系数,完备性应用例题,勒让德多项式的正交性,模,正交性,正交性应用例题,勒让德多项式模的计算,勒让德多项式的完备性,广义傅立叶系数为,完备性,如果函数 f(x)满足适当的条件,则有,完备性应用例题,例1:把函数 f(x)=x,2,用勒让德多项式展开。,例2:把函数 f(x)=|x|,用勒让德多项式展开。,例3:把函数 f(x)=(x-1),5,用勒让德多项式展开。,例4:把函数 f(x)=x,3,用勒让德多项式展开。,勒让德多项式的应用,例题 1,半径为a的球面上电势分布为 f=Acos,2,,确定球内空间的电势 u。,解:,勒让德多项式的应用,例题 2,半径为a的球面上电势分布为 f=Acos,2,,确定球外空间的电势 u。,解:,勒让德多项式的应用,例题 3,一空心圆球区域,内半径为a,外半径为b,内球面上电势为 f=cos,,外球面上电势为零,确定区域内电势u。,解:,勒让德多项式的应用,例题 4,半径为a的导体球面附近的电场分布为 f=Acos,,确定球外空间的电势 u。,解:,勒让德多项式的应用,例题 5,半径为a的球面保持温度分布为 f=Acos,,确定球外空间的稳定温度分布 u。,解:,勒让德多项式的应用,例题 6,半径为a的半球球面上电势分布为 f=A,底面电势为零,确定半球内空间的电势 u。,解:,勒让德多项式的应用,例题 7,半径为 a 的半球球面上温度分布为 f=A,底面绝热,确定半球内空间的稳定温度分布 u。,解:,转动对称问题和连带勒让德函数,转动对称稳定问题的,求解,连带勒让德,函数,连带勒让德函数的,性质,连带勒让德函数的,应用,转动对称稳定问题的求解,连带勒让德函数,定义,微分表示,具体形式,代数,表达式,图象,连带勒让德函数的代数表达式,连带勒让德函数的图象,连带勒让德函数的图象,连带勒让德函数的性质,奇偶性,P,l,m,(-x)=(-1),l+m,P,l,m,(x),正交性,正交性公式,模,正交性应用例题,完备性,完备性公式,广义傅立叶系数,连带勒让德函数的正交性,正交性和模,正交性应用例题,连带勒让德函数的完备性,广义傅立叶系数为,完备性,如果函数 f(x)满足适当的条件,则,连带勒让德函数的应用,例题 1,半径为a的球面上电势分布为 f=Asin,2,cossin,,确定球内空间的电势 u。,解:,连带勒让德函数的应用,例题 2,半径为a的球面上电势分布为 f=Asin,2,cossin,,确定球外空间的电势 u。,解:,连带勒让德函数的应用,例题 3,半径为a的导体球面附近电场分布为 f=Asin,cos,,确定球外空间的电势 u。,解:,连带勒让德函数的应用,例题 4,半径为a=2的球面上温度分布为 f=Asin,cossin,,确定球内空间的稳定温度分布 u。,解:,一般问题和球函数,非对称稳定问题的,求解,球函数的,概念,球函数的,性质,球函数的,应用,球函数的,归一化,非对称稳定问题的求解,球函数的概念,定义,一般表示式,具体形式,球函数的具体形式,球函数的性质,对称性,正交性,完备性,球函数的应用,例题 1,半径为a的球面上电势分布为 f=Asin,2,cos,2,,确定球内空间的电势 u。,解:,球函数的应用,例题 2,半径为a的球面上电势分布为 f=Asin,2,cos,2,,确定球外空间的电势 u。,解:,球函数的归一化,归一化的球函数,正交性,完备性,本章小结,一般球面边界稳定问题的半通解为,转动对称球面边界稳定问题的半通解为,轴对称球面边界稳定问题的半通解为,递推公式的证明,
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