误差及误差分析-数据的误差处理

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数据的误差处理,王晓冬 讲 师,一、测量及测量的分类,1,、,概念,测量,就是以确定被测量对象的量值为目的的所有操作。,记录下来的测量结果应该包含测量值的大小和单位，二者缺一不可。,2,、,测量的分类,按测量方式分：直接测量和间接测量,直接测量,：待测物理量的大小可以从选定好的测量仪器或仪表上直接读出来的测量。相应的待测物理量称为,直接测量量,。,间接测量,：,待测物理量需根据直接测量的值，通过一定的函数关系，才能计算出来的测量过程。相应的待测量称为,间接测量量,。,按测量条件分：等精度测量和不等精度测量,等精度测量,：,在相同的测量方法和条件下，多次测量同一个物理量。,不等精度测量,：,在不同的测量方法和条件下，多次测量同一个物理量。,二、误差,真值,：,被测量物理量所具有的、客观的、真实的数值，记为,。,测量值,：,通过测量所获得的被测物理量的值，记为,。,1,、,真值、测量值、平均值（最佳估计值）,平均值（最佳估计值）,：在相同条件下，对某物理量进行,n,次测量，,这,n,个测量结果称为一个,测量列,，取这,n,次独立测量值的算术平均值，记为 。即,注：在处理测量数据时常用物理量的平均值代替其真值。,2,、误差,(1),概念,：测量值与真值之差定义为误差，,记为 ，即,(3),分类：,系统误差和随机误差,(2),表示方法：,绝对误差,=,测量值,真值,相对误差,=100,系统误差,概念：,在相同的条件下，多次测量同一物理量时，若误差的大小及符号都保持不变或按一定规律变化，这种误差称为,系统误差,。,特征：,系统误差表现出恒偏大、恒偏小或周期性的特点。增加测量次数系统误差不能减少。,来源：,仪器、理论、观测等,处理方法：,修正已定系统误差；,随机误差,概念：,在相同条件下，多次测量同一物理量时，若误差的大小和符号都不确定，这种误差称为,随机误差,。,特征：,随机误差的绝对值和符号以不可预知的方式变化，随机误差使测量值围绕某一平均值上下涨落。,来源：,环境、观测者等。,处理方法：,取多次测量的平均值有利于消减随机误差。,测量的精密度、准确度和精确度,精密度,：表示测量结果中的随机误差大小的程度。,精密度高即数据的重复性好，随机误差小。,准确度,：表示测量结果中的系统误差大小的程度。,准确度高即测量结果接近真值的程度高，系统误差小。,精密度,准确度,精确度,精确度,：表示测量结果的重复性及接近真值的程度。,三、误差的估算,定义：,测量值 与相同条件下多次测量所得平均值 的差值称为偏差或残差，记为 ，即,1,、,偏差（残差）,说明：,一般情况下，我们所说的误差就是指偏差。,2,、,(,实验,),标准偏差,算术平均值的实验标准偏差反映了测量结果的不确定度大小。,3,、算术平均值 的实验标准偏差,四、测量结果的评定,(1),不确定度的概念：,用于表示测量结果可能出现的具有一定置信水平的误差范围的量，用,u,表示。,不确定度表示一个区间，被测量的真值以一定的概率存在于此区间中,，,此概率称为,置信率,，此区间称为,置信区间,。,(,而误差表示测量值偏离真值的大小，是个确定的值。,),不确定度可以根据实验、资料、经验等进行评定，从而可以定量确定。（而误差无法计算）,1,、不确定度的评定方法,(2),对概念的说明：,不确定度的数值一般包含几个分量，按不确定度的数值评定方式，可分为,A,类不确定度,用统计方法确定的分量,B,类,不确定度,用其他方法确定的分量,要计算不确定度，首先要求出所有的,A,类和,B,类分量,，然后再合成不确定度。,引言：不确定度的分量,2,、,不确定度的计算,1,、直接测量量的,A,类标准不确定度的计算,A,类标准不确定度用一个测量列的算术平均值 的实验标准偏差 表示，记为 ，即,使用此式时，测量次数,n,应充分多，一般认为,n,应大于,6,。,说明,2,、,直接测量量的,B,类标准不确定度的计算,如果已知被测量的测量值 分散区间的半宽为,a,，且落在 至 区间的概率为,100%,，通过对其分布规律的估计可得出,B,类标准不确定度,u,为：,是包含因子，取决于测量值的分布规律。,(1),如果检定证书、说明书等资料明确给出了不确 定度 及包含因子 时，则 ，,B,类标准不确定度为,【,例题,】,校准证书上给出标称值为,1kg,的砝码质量 ，包含因子 ，（扩展）不确定度为,U,=0.24 mg,，由此可确定砝码的,B,类标准不确定度,包含因子,k,和,半宽,a,的确定方式为：,说明,(2),在缺乏任何信息的情况下，一般使用均匀分布，,而,a,则取仪器的最大允许误差（误差限）,所以,B,类标准不确定度为,直接测量量的,B,类标准不确定度的估算流程图,(1),当进行的测量只有一次时，取,3,、,直接测量量的合成标准不确定度,A,类和,B,类不确定度的合成标准不确度 ：,(2),如果一个测量量的,B,类不确定度由多个部分构成，则,B,类不确定度的合成不确定度为,说明,【,例题,】,用螺旋测微计测某一钢丝的直径，,6,次测量值 分别为：,0.245,0.255,0.249,0.247,0.253,0.251;,单位,mm,，已知螺旋测微计的仪器误差为,仪,=0.004mm,，请给出测量的合成标准不确定度。,解,:,测量最佳估计值,A,类标准不确定度,B,类标准不确定度,合成不确定度,4,、,间接测量量的不确定度计算,间接测量量 ，,其中,为直接测量量。,Y,的估计值,y,的标准不确定度，要由,的标准不确定度适当合成求得，称为估计值,y,的,合成标准不确定度,记为 。,【,例题,】,某实验的测量式为 ，为直接测量量，其中 ，,则间接测量量的合成标准不确定度为,(1),对于形如,的函数形式（,和差关系,）,合成标准不确定度的计算方法为,:,(2),对于形如 的函数形式（,积商关系,），则先求其,相对,合成标准不确定度：,说明：对于被测量,Y,的平均值 ，按如下方式计算：,合成标准不确定度,【,例题,】,圆柱体的体积公式为 。设已经测得 ，写出体积的相对合成标准不确定度表达式。,解：,此体积公式形如,其中 ，。,体积的相对合成标准不确定度表达式为,根据,5,、扩展不确定度的计算,将合成不确定度 乘以一个包含因子,m,，即得扩展不确定度,用,U,表示，即,在物理实验课程中，包含因子,m,一般取,2,，即,此时置信率约为,95%,说明,五、测量结果的表达,物理实验中，用扩展不确定度报告测量结果,单位,单位,1,、,表达式中平均值、不确定度、单位三者缺一不可。,2,、,在结果表达式里，按国家技术规范，最多取两位有效数字，两位一位皆可。在学生实验中，可以,只取一位有效数字,，多余的位数按数字修约,(,三舍四入）的原则进行修约。,说明,3,、,平均值的最后一位与不确定度的最后一位必须对齐，多余数字按,4,舍,5,入规则进行取舍。,例如：,=242.63cm,3,，,u,c,(v)=0.54cm,3,，,不确定度保留一位，,V=(242.60.6)cm,3,。,不确定度保留了两位，,V=(242.630.54),cm,3,。,数据处理的步骤,X,1,x,11,x,12,x,13,x,14,x,15,x,16,X,2,x,21,x,22,x,23,x,24,x,25,x,26,实验测量式,1.,由测量数据计算直接测量量的最佳估计值,2.,由测量式计算间接测量量的最佳估计值,(1),计算,X,1,的,A,类标准不确定度,(2),计算,X,1,的,B,类标准不确定度,(3),计算,X,1,的合成标准不确定度,(4),重复,(1)-(3),步骤计算,X,2,的合成标准不确定度,实验数据,3.,计算直接测量量的不确定度,数据处理的步骤,5.,计算扩展不确定度,4.,计算间接测量量的不确定度,积商形式,和差形式,6.,写出测量结果表达式,或,【,例题,】,用单摆测重力加速度的公式,现用最小读数为,1/100s,的电子秒表测量周期,T,五次，其周期的测量值为,2.001,，,2.004,，,1.997,，,1.998,，,2.000,（单位：,s,）；用,级钢卷尺测摆长,L,一次，,L,=100.00 cm,。试求重力加速度,g,及合成不确定度 ，并写出结果表达式。,注：每次周期值是通过测量,100,个周期获得，每测,100,个周期要按两次表，由于按表时超前或滞后造成的最大误差是,0.5s,；,级钢卷尺测量长度,L,的示值误差为 （,L,是以米为单位得到的数值），由于卷尺很难与摆的两端正好对齐，在单次测量时引入的误差极限为,2 mm,。,1.,计算直接测量量的最佳估计值,T,的估计值：,L,的估计值：,2.,计算间接测量量,g,的最佳估计值,3.,计算直接测量量的不确定度,（,1,）计算摆长,L,的测量不确定度,相应的不确定度为,测量时卷尺不能对准,L,两端造成的仪器误差,相应的不确定度为,L,的合成不确定度为,仪器的示值误差,L,的相对不确定度,摆长只测了一次，只考虑,B,类不确定度,有两个分量。,（,2,）计算周期,T,的测量不确定度,T,的,A,类不确定度,T,的,B,类不确定度有两个分量，一个与仪器误差,对应，一个与按表超前或滞后造成的误差,对应,因,比,小得多，可略去，故合成不确定度为,T,的相对不确定度,分别是,扩展不确定度为,4.,计算间接测量量,g,的不确定度,由于 是积商关系，根据相对合成不确定公式,有,g,的不确定度为,5.,写出结果表达式,或,六、有效数字及其运算规则,(1),仪器的读数规则,首先读出能够从仪器上直接读出的准确数字，对余下部分再进行估计读数。,0,1 2 3 4 5 6 7,直读,准确数字,7.4cm,可靠数字,估读,余下部分约为,0.02cm,存疑数字,物体的长度即为,7.42cm,1,、有效数字,(2),有效数字的定义：,物理实验中的有效数字是针对测量中的数 据定义的概念,是一个有单位的数据,由若干位,可靠数字,及末尾一位,存疑数字,组成。,(3),对有效数字的几点说明,单位的变换不能改变有效数字的位数。如,2.327kg=2.32710,-3,t=2327g=2.32710,6,mg,实验中要求尽量使用科学计数法（小数点前仅 写出一位非零数字）表示数据。,数学上,改变了有效数字的位数,科学计数法,不改变有效数字的位数,有效数字的位数与被测量量的大小和仪器的精密度有关。,2,、直接测量量的有效数字,(1),游标类量具，有效数字最后一位与游标分度值对齐。,如,:1/50mm,的游标卡尺的游标分度值,0.02mm,因此,记录测量结果时,最后一位有效数字应记录到,1/100mm,位,.,(2),数显仪表及有十进步式标度盘的仪表（电阻箱、电桥、电位差计、数字电压表等）一般应直接读取仪表的示值。,(3),米尺、指针式仪表这类的刻度式仪器，应估读到最小分度值的,1/10,。,(4),尺子只标出整刻度和半刻度线时,则认为半刻度线没有标出，仍然按照,3,中的方式估读。,1 2 3,1.2cm,3,、,中间运算结果的有效位数,1.,采用四舍五入法对有效数字进行取舍,.,2.,加减法,:,结果的可疑位与参与运算数据中,存疑位数量级最高,的对齐,.,例如,:2.32,7,+10.,8,=13.,1,2,7,2.32,7,+10.,8,=13.,1,3.,乘除法,:,结果的有效数字的位数与参与运算数据中有效数字,位数最少,的相同,.,例如：,232,7,10,8,=25,1316,232,7,10,8,=2.5,1,10,5,4.,、,g,等或者在公式中出现的,常数可视为无穷多位,，使用时所取的位数不少于参与运算数据中位数最少的。,例如：,V=,D,2,/,4,=,3.142,2.327,2,4,或者,=,3.1416,2.327,2,4,七、数据处理