1.2.1充要条件 (7)

1.2.2,充要条件,1.,理解充要条件的意义,.,2.,会判断、证明充要条件,.,3.,通过学习，明白对充要条件的判定应该归结为判断命题的真假,.,学习目标,知识梳理,自主学习,题型探究,重点突破,课堂总结,反思升华,栏目索引,知识点一充要条件,一般地，如果既有,p,q,，又有,q,p,就记作,.,此时，我们说，,p,是,q,的,，简称,.,显然，如果,p,是,q,的充要条件，那么,q,也是,p,的充要条件,.,概括地说，如果,p,q,，那么,p,与,q,.,答案,p,q,充分必要条件,充要条件,互为充要条件,知识梳理,思考,(1),若,p,是,q,的充要条件，则命题,p,和,q,是两个相互等价的命题,.,这种说法对吗？,答案,正确,.,若,p,是,q,的充要条件，,则,p,q,，即,p,等价于,q,，故此说法正确,.,(2),“,p,是,q,的充要条件,”,与,“,p,的充要条件是,q,”,的区别在哪里？,答案,p,是,q,的充要条件说明,p,是条件，,q,是结论,.,p,的充要条件是,q,说明,q,是条件，,p,是结论,.,答案,知识点二常见的四种条件与命题真假的关系,如果原命题为,“,若,p,，则,q,”,，逆命题为,“,若,q,，则,p,”,，那么,p,与,q,的关系有以下四种情形：,原命题,逆命题,p,与,q,的关系,真,真,p,是,q,的充要条件,q,是,p,的充要条件,真,假,p,是,q,的充分不必要条件,q,是,p,的必要不充分条件,假,真,p,是,q,的必要不充分条件,q,是,p,的充分不必要条件,假,假,p,是,q,的既不充分也不必要条件,q,是,p,的既不充分也不必要条件,知识点三从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件,若,A,B,，则,p,是,q,的充分条件,，,若,A,B,，则,p,是,q,的充分不必要条件,若,B,A,，则,p,是,q,的必要条件,，,若,B,A,，则,p,是,q,的必要不充分条件,若,A,B,，则,p,，,q,互为充要条件,若,A,B,且,B A,，则,p,既不是,q,的充分条件,，也,不是,q,的必要条件,其中,p,：,A,x,|,p,(,x,),成立,，,q,：,B,x,|,q,(,x,),成立,.,返回,解析答案,题型一充要条件的判断,例,1,(1),设,x,0,，,y,R,，则,“,x,y,”,是,“,x,|,y,|,”,的,(,),A,充要条件,B,充分而不必要条件,C,必要而不充分条件,D,既不充分也不必要,条件,解析,分别,判断,x,y,x,|,y,|,与,x,|,y,|,x,y,是否成立，从而得到答案,当,x,1,，,y,2,时，,x,y,，但,x,|,y,|,不成立；,若,x,|,y,|,，因为,|,y,|,y,，所以,x,y,.,所以,x,y,是,x,|,y,|,的必要而不充分条件,C,题型探究,解析答案,(2),判断下列各题中，,p,是否为,q,的充要条件？,在,ABC,中，,p,：,A,B,，,q,：,sin,A,sin,B,；,解,在,ABC,中，显然有,A,B,sin,A,sin,B,，,所以,p,是,q,的充要条件,.,若,a,，,b,R,，,p,：,a,2,b,2,0,，,q,：,a,b,0,；,解,若,a,2,b,2,0,，则,a,b,0,，即,p,q,；,若,a,b,0,，则,a,2,b,2,0,，即,q,p,，故,p,q,，,所以,p,是,q,的充要条件,.,p,：,|,x,|3,，,q,：,x,2,9.,解,由于,p,：,|,x,|3,q,：,x,2,9,，所以,p,是,q,的充要条件,.,判断,p,是,q,的充分必要条件的两种思路,(1),命题角度：判断,p,是,q,的充分必要条件，主要是判断,p,q,及,q,p,这两个命题是否成立,.,若,p,q,成立，则,p,是,q,的充分条件，同时,q,是,p,的必要条件；若,q,p,成立，则,p,是,q,的必要条件，同时,q,是,p,的充分条件；若二者都成立，则,p,与,q,互为充要条件,.,(2),集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断,p,q,及,q,p,的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中,“,小集合,大集合,”,的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的,.,反思感悟,解析答案,跟踪训练,1,(1),a,，,b,中至少有一个不为零的充要条件是,(,),A.,ab,0,B.,ab,0,C.,a,2,b,2,0 D.,a,2,b,2,0,解析,a,2,b,2,0,，,则,a,、,b,不同时为零；,a,，,b,中至少有一个不为零，,则,a,2,b,2,0.,D,解析答案,(2),“,函数,y,x,2,2,x,a,没有零点,”,的充要条件是,_.,解析,函数没有零点，,即方程,x,2,2,x,a,0,无实根，,所以有,4,4,a,0,，,解得,a,1.,反之，若,a,1,，,则,0,，方程,x,2,2,x,a,0,无实根，,即函数没有零点,.,故,“,函数,y,x,2,2,x,a,没有零点,”,的充要条件是,a,1.,a,1,解析答案,题型二充要条件的证明,例,2,求证：方程,x,2,(2,k,1),x,k,2,0,的两个根均大于,1,的充要条件是,k,2.,证明,必要性：,若方程,x,2,(2,k,1),x,k,2,0,有两个大于,1,的根，不妨设两个根为,x,1,，,x,2,，,解得,k,2.,充分性：当,k,0.,设方程,x,2,(2,k,1),x,k,2,0,的两个根为,x,1,，,x,2,.,则,(,x,1,1)(,x,2,1),x,1,x,2,(,x,1,x,2,),1,k,2,2,k,1,1,k,(,k,2)0.,又,(,x,1,1),(,x,2,1),(,x,1,x,2,),2,(2,k,1),2,2,k,10,，,x,1,10,，,x,2,10.,x,1,1,，,x,2,1.,综上可知，方程,x,2,(2,k,1),x,k,2,0,有两个大于,1,的根的充要条件为,k,2.,一般地，证明,“,p,成立的充要条件为,q,”,时，在证充分性时应以,q,为,“,已知,条件,”,，,p,是该步中要证明的,“,结论,”,，即,q,p,；证明必要性时则是以,p,为,“,已知条件,”,，,q,为该步中要证明的,“,结论,”,，即,p,q,.,反思感悟,解析答案,返回,跟踪训练,2,求证：一次函数,f,(,x,),kx,b,(,k,0),是奇函数的充要条件是,b,0.,证明,充分性：如果,b,0,，那么,f,(,x,),kx,，,因为,f,(,x,),k,(,x,),kx,，,所以,f,(,x,),f,(,x,),，,所以,f,(,x,),为奇函数,.,必要性：因为,f,(,x,),kx,b,(,k,0),是奇函数，,所以,f,(,x,),f,(,x,),对任意,x,均成立，,即,k,(,x,),b,(,kx,b,),，,所以,b,0.,综上，一次函数,f,(,x,),kx,b,(,k,0),是奇函数的充要条件是,b,0.,返回,1.,充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法,.,2.,充要条件的证明与探求,(1),充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明,.,在证明时要注意两种叙述方式的区别：,p,是,q,的充要条件，则由,p,q,证的是充分性，由,q,p,证的是必要性；,p,的充要条件是,q,，则由,p,q,证的是必要性，由,q,p,证的是充分性,.,(2),探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件,.,课堂总结,